直线y=3x+3交x轴于点A,交y轴于B点,过A、B两点的抛物线交X轴于另一点C（3,0）问：在第一想先抛物线上是否存在点P,使四边形ABPC的面积最大,若存在,求P点的坐标；若不存在,说明理由.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 04:15:41

直线y=3x+3交x轴于点A,交y轴于B点,过A、B两点的抛物线交X轴于另一点C（3,0）问：在第一想先抛物线上是否存在点P,使四边形ABPC的面积最大,若存在,求P点的坐标；若不存在,说明理由.
直线y=3x+3交x轴于点A,交y轴于B点,过A、B两点的抛物线交X轴于另一点C（3,0）
问：在第一想先抛物线上是否存在点P,使四边形ABPC的面积最大,若存在,求P点的坐标；若不存在,说明理由.

直线y=3x+3交x轴于点A,交y轴于B点,过A、B两点的抛物线交X轴于另一点C（3,0）问：在第一想先抛物线上是否存在点P,使四边形ABPC的面积最大,若存在,求P点的坐标；若不存在,说明理由.
直线y=3x+3交x轴于点A,交y轴于B点
则A点坐标为（-1,0） B点坐标为（0,3）
设抛物线的方程为 y=ax²+bx+c 把A,B,C三点坐标代入得
a-b+c=0 (1)
c=3 (2)
9a+3b+c=0 (3)
把（2）代入（1）得 b=3+a (4)
把（2）(4) 代入（3）得 9a+3(3+a)+3=0 a=-1
则b=2
抛物线的方程为 y=-x²+2x+3
AO=1 AC=4 BO=3
设存在一点P(m,n),则
BP=m
四边形ABPC的面积=三角形AOB的面积+三角形POB的面积+三角形POC的面积
=1/2*AO*BO+1/2*BO*m+1/2*3*n=3/2+3m/2+3n/2
=3/2*(1+m+n）
因为P点在抛物线上,所以n=-m²+2m+3=-(m²-2m-3)=-(m-2)(m+1) (5)
所以
四边形ABPC的面积=3/2*(1+m+n）=3/2（1+m-m²+2m+3)
=3/2(-m²+3m+4)=-3/2(m²-3m-4)=-3/2(m-4)(m+1)=3/2(4-m)(m+1)
又P点在第一象限,所以m＞0 n＞0
由（5）得 0＜m＜2
因为当4-m=m+1时,3/2(4-m)(m+1)有最大值,所以
m=3/2 (符合条件）
代入（5） n=-(3/2-2)(3/2+1)=5/4
因此在第一象限抛物线上存在点P,使四边形ABPC的面积最大
P点的坐标（3/2,5/4）

∵ 直线y=3x+3交x轴于点A，交y轴于B点，∴A（-1，0），B（0，3），而C（3，0），故易知抛物线解析式：Y= -X²+2X+3，而S四ABPC=S△ABC+S△BCP，而S△ABC的面积一定，故求S△BCP的最大面积即可。由分析可知：当P点位于与直线BC平行的直线L上，且直线L与抛物线相切时，此时S△BCP的面积最大。直线BC的解析式为：Y= -X+3，∴设直线L的解析式为：...

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A(-1,0) B(0,3) C(3,0)

设f(x)=a(x+1)(x-3)

代入B

3=-3a

a=-1

f(x)=-(x+1)(x-3)=-x^2+2x+3

P(a,-a^2+2a+3) (0≤a≤3)

三角形ABC面积不变

三角形BPC面积最大则四边形ABPC面积最大

三角形BPC底边BC不变

P到BC距离h最大时面积最大

BC方程

x+y-3=0

h=|a+a^2+2a+3-3|/√2

=|-a^2+3a|/√2

0≤a≤3

=(-a^2+3a)/√2

a=3/2时h最大

P(3/2, 15/4)

因为抛物线交x轴于A(-1,0)，C(3,0)，对称轴是x=1，设抛物线y=a(x-1)^2+b，
易得抛物线是y=-(x-1)^2+4. 设P(x,y)，则四边形ABPC的面积是
S=3/2+1/2(-x^2+2x+6)x+1/2(-x^2+2x+3)(3-x)=-(3/2)x^2+(9/2)x+6,
因为0所以存在点P...

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