已知二次函数y=x^2+bx+c在（负无穷,1）上是减函数,在（1,正无穷）上市增函数,有两个零点x1,x2且满足|x1-x2|=4,求这个二次函数的解析式

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/25 07:34:41

已知二次函数y=x^2+bx+c在（负无穷,1）上是减函数,在（1,正无穷）上市增函数,有两个零点x1,x2且满足|x1-x2|=4,求这个二次函数的解析式
已知二次函数y=x^2+bx+c在（负无穷,1）上是减函数,在（1,正无穷）上市增函数,有两个零点x1,x2
且满足|x1-x2|=4,求这个二次函数的解析式

已知二次函数y=x^2+bx+c在（负无穷,1）上是减函数,在（1,正无穷）上市增函数,有两个零点x1,x2且满足|x1-x2|=4,求这个二次函数的解析式
这是比较常规的题型,这种问题经常通过韦达定理计算|x1-x2|,这种问题无论多复杂都分两步走.
第一步：对称轴；
由二次函数的单调性可知其对称轴为x=-b/2=1
第二部：根与系数的关系.
x1+x2=-b
x1*x2=c
|x1-x2|^2=(x1+x2)^2－4x1x2=b^2-4c=16
求解上面的方程即可.

由对称轴得b=-2, 又16＝|x1-x2|^2＝（x1-x2）^2＝（x1+x2）^2－4x1x2，由根与系数的关系，可得到16=2^2-4c,
c=-3
所以 y=x^2-2x-3

由题意知对称轴是x=1,所以b=-2。考虑到|x1-x2|=4，故x1,x2到对称轴的距离为2，从而x1,x2=-1或3，将点（-1，0）代入y=x^2-2x+c得c=-3。

因为（负无穷，1）上减（1，正无穷）上增所以1为函数对称轴所以-b/2=1 b=-2
|x1-x2|=4 平方得（X1+X2）^2-4X1X2=16 4-4c=16 -4c=12 c=-3
所以函数 x^2-2x-3=y