求救,我本身的财富实在不多,

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先说T_3.设h是从X到Y的同胚,Y满足T_3公理,证明X也满足.假如有个点p和一个闭集F都在X里,那么h(F)是Y里的闭集,因为h^(-1)连续.现在h(p)和h(F)在Y中可以被两个不交的开集分开,那么他们在h下的原像也都是开集,因为h连续,这两个开集不交,且把p和F分开.所以X也是T_3的.
紧性.同样,设h是从X到Y的同胚,Y是紧的,证明X也紧.实际上,也可以证明如果Y里有个紧集K,那么K的原像F在X里也紧（也就是说,两个同胚的空间的紧子集之间是通过这个h一一对应的,特别的,如果其中一个空间本身是紧的,那么另一个也是）.现在任取F的一个开覆盖,通过h映过去,是K的覆盖,这仍然是开覆盖,因为h逆连续.这个映过去的开覆盖有有限覆盖,因为K紧,把它拉回来（就是作用一个h逆）就是F的有限覆盖.
连通性更简单.如果Y被两个开集分开,直接用h拉回来,那么X也被两个开集分开.所以Y不连通的话X也不连通.
闭区间那一系列问题回答如下.
有界性和最值性,和紧性有关.紧集在连续函数（不需要是同胚）下的像仍是紧的（跟上面紧性的证明类似）.闭区间是紧的,所以值域是紧的,而欧式空间里的紧集是有界闭集,所以值域是有界的,而且取到最值.
介值性和连通性有关.连通集合在连续函数（仍然不需要是同胚）下的像仍连通.如果定义域连通,而函数没有介值性,那么值域就不连通了.
希望你理解这些吧,不要照抄.