已知x、y为正实数,且x+2y+2xy=8,求x+2y的最小值.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 18:14:47
已知x、y为正实数,且x+2y+2xy=8,求x+2y的最小值.

已知x、y为正实数,且x+2y+2xy=8,求x+2y的最小值.
已知x、y为正实数,且x+2y+2xy=8,求x+2y的最小值.

已知x、y为正实数,且x+2y+2xy=8,求x+2y的最小值.
根据均值不等式
x+2y≥2√[x*(2y)]=2√(2xy),当且仅当x=2y取等
两边平方得
(x+2y)^2≥8xy……(*)
将x=2y代入x+2y+2xy=8得
x+x+x^2=8
x^2+2x-8=0
(x+4)(x-2)=0
x1=-4(负值舍去),x2=2
所以x=2,y=x/2=1
由(*)知
(x+2y)^2≥8xy=8*2*1=16
两边开平方得
x+2y≥4
即x+2y的最小值是4

均值定理即可,再利用换元方法,是一个一元二次的方程

令x+2y=a;则x=a-2y;
带入方程x+2y+2xy=8,
整理得a=(8+4y^2)/(1+2y)=1+2y+9/(1+2y)-2
由于1+2y大于0;根据a+b≥ 2√ab
所以上式≥ 2×3-2=4,即a≥4,仅当1+2y=3 即y=1是取得最小值(此时x为2)
所以最小值为4

也可用柯西不等式解答
因为x+2y+2xy=8
所以x(1+2y)+2y+1=9
所以(x+1)(2y+1)=9
因为(x+1)(2y+1)≥(√2xy+1)平方
所以(√2xy+1)平方≤9
所以0≤(√2xy+1)≤3
所以0≤xy≤2
因为x+2y+2xy=8
所以x+2y=8-2xy≥4
所以x+2y的最小值为4