证明周期函数证明：若存在不为零的常数a使得函数y=f(x)对定义域内的任一x均有f(x+a)=-f(x), 则此函数是周期函数.若定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(x+1)=-f(x),该函数在区间〔2008,2008〕内的零点个数

证明周期函数证明：若存在不为零的常数a使得函数y=f(x)对定义域内的任一x均有f(x+a)=-f(x), 则此函数是周期函数.若定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(x+1)=-f(x),该函数在区间〔2008,2008〕内的零点个数
证明周期函数
证明：若存在不为零的常数a使得函数y=f(x)对定义域内的任一x均有f(x
+a)=-f(x), 则此函数是周期函数.
若定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(x+1)=-f(x),该函数在区间〔2008,2008〕内的零点个数

证明周期函数证明：若存在不为零的常数a使得函数y=f(x)对定义域内的任一x均有f(x+a)=-f(x), 则此函数是周期函数.若定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(x+1)=-f(x),该函数在区间〔2008,2008〕内的零点个数
第一题：
证明：显然函数的定义域是无限集(否则f(x+a)不全存在),由题设,得：
f(x)=f[(x-a)+a]=-f(x-a),所以f(x+a)=-f(x)=f(x-a),令t=x-a,所以
f(x+a)=f(t+2a)=f(t),即f(x)=f(x+2a)；因为a非零,所以f(x)是以2a为周期的函数.
第二题：
由（1）,得：f(x)=f(x+2),x属于R,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-0)=-f(0),即f(0)=0,所以f(1)=f(0+1)=-f(0)=0,由周期性得：f(0)=f(2)=f(4)=...=f(2n)=0,n属于N+；且f(1)=f(3)=f(5)=...=f(2n+1)=0,n属于N.
即在(0,2008)内所有的整数均是f(x)=0的根,所以在(0,2008）上共有2007个整零点.

题目有问题

一、
证明：由题设，我们容易有
f(x)=f[(x-a)+a]=-f(x-a)
所以f(x+a)=-f(x)=f(x-a),
令t=x-a，
所以 f(x+a)=f(t+2a)=f(t),即f(x)=f(x+2a)；
因为a非零,所以f(x)是以2a为周期的函数.
二、
由（一）得：f(x)=f(x+2),x属于R，
因为f...

全部展开

一、
证明：由题设，我们容易有
f(x)=f[(x-a)+a]=-f(x-a)
所以f(x+a)=-f(x)=f(x-a),
令t=x-a，
所以 f(x+a)=f(t+2a)=f(t),即f(x)=f(x+2a)；
因为a非零,所以f(x)是以2a为周期的函数.
二、
由（一）得：f(x)=f(x+2),x属于R，
因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(-0)=-f(0),即f(0)=0,
所以f(1)=f(0+1)=-f(0)=0,
由周期性得：f(0)=f(2)=f(4)=...=f(2n)=0,n属于N+；且f(1)=f(3)=f(5)=...=f(2n+1)=0,n属于N.
即在(0,2008)内所有的整数均是f(x)=0的根,所以在(0,2008）上共有2007个整零点.
附：对于数学方面的解题，或者说学习数学的方法
(1)要非常深刻理解一些数学概念，比如对于这个题目中的周期函数，那么你一定要形成你要证明的形式如f(x+T)=f(T)(T不等于0)，这样子你就可以根据这个逆向思维地去证明。
(2)在理解并掌握概念之后，你要学会逆向思维的考虑数学问题，比如你要的什么？需要证明什么？具备什么条件了？那么要证明这个结果，还需要什么？或许LZ会认为这只是几句很理论的几句话，却是学习数学的重要的思维方法。
我在大学修的应用数学专业的，在大学里，学了四年数学，其它没有学到非常多，毕竟数学知识是无止境的，唯一学到而今感觉最深刻的就是分析问题的思维。LZ如果还有什么地方不是很明白的，或者交流学习数学的问题，可以联系我
avantis@vip.qq.com邮箱！每天都开着邮箱！现在已经上班！

收起

题目没有问题，比如，f(x)=sinX，a=∏
f(x)=f[(x-a)+a]=-f(x-a)
所以f(x+a)=-f(x)=f(x-a),
令t=x-a，
所以 f(x+a)=f(t+2a)=f(t),即f(x)=f(x+2a)；
因为a非零,所以f(x)是以2a为周期的函数