如图,四边形ABCD中,角BAD+角BCD=180度,AD、BC的延长线交与点F,DC、AB的延长线交与点E,角E,角F的平分线交与点H,求证：EH垂直于FH（图可能不标准）麻烦不要网上抄袭，

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/27 20:26:31

如图,四边形ABCD中,角BAD+角BCD=180度,AD、BC的延长线交与点F,DC、AB的延长线交与点E,角E,角F的平分线交与点H,求证：EH垂直于FH（图可能不标准）麻烦不要网上抄袭，
如图,四边形ABCD中,角BAD+角BCD=180度,AD、BC的延长线交与点F,DC、AB的延长线交与点E,角E,角F的平分
线交与点H,求证：EH垂直于FH
（图可能不标准）

麻烦不要网上抄袭，

如图,四边形ABCD中,角BAD+角BCD=180度,AD、BC的延长线交与点F,DC、AB的延长线交与点E,角E,角F的平分线交与点H,求证：EH垂直于FH（图可能不标准）麻烦不要网上抄袭，
延长FH交AB于M,设FH与DC交于O
∵∠BAD+∠BCD=180°
∴D、A、B、C四点共圆
∴∠FDO(∠FDC)=∠FBM(∠FBA)
∵FH(FM)平分∠AFB
∴∠DFO(∠AFM)=∠MFB
∴△FDO∽△AMB
∴∠FOD=∠OME(∠FMB)
∵∠FOD=∠EOM
∴∠OME=∠EOM
∴△MOE是等腰三角形
∵HE平分∠OEM(∠DEA)
∴EH⊥OM(等腰三角形,顶角平分线、底边上的高,中线三线合一）
即EH⊥FH

全部展开

延长FH交AB于M,设FH与DC交于O
∵∠BAD+∠BCD=180°
∴D、A、B、C四点共圆
∴∠FDO(∠FDC)=∠FBM(∠FBA)
∵FH(FM)平分∠AFB
∴∠DFO(∠AFM)=∠MFB
∴△FDO∽△AMB
∴∠FOD=∠OME(∠FMB)
∵∠FOD=∠EOM
∴∠OME=∠EOM
∴△MOE是等腰三角形
∵HE平分∠OEM(∠DEA)
∴EH⊥OM(等腰三角形，顶角平分线、底边上的高，中线三线合一）
即EH⊥FH

收起

连接EF,根据外角和公式，∠ADE+∠ABE=∠DFE+∠DCF+∠BEC+∠BCE=180;
而∠HFE+∠HEF=1/2∠DFB+1/2∠BEC+∠CEF+∠EFC;
∠CEF+∠EFC=∠ BCE=∠DCF
所以,∠HFE+∠HEF=1/2DFB+1/2∠BEC+1/2(∠DCF+∠BCE)=90°；
所以∠H=90°；所以EH⊥FH.