用数学归纳法证明如图不等式

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 17:29:46
用数学归纳法证明如图不等式

用数学归纳法证明如图不等式
用数学归纳法证明如图不等式
 

用数学归纳法证明如图不等式

证明:(1)n=2时,(2-r)^2=4-4r+4^2=2-r^2+2(1-2r+r^2)=2-r^2+2(1-r)^2
∵0∴2(1-r)^2>0 01
∴(2-r)^2>2-r^2。得证
(2)假设n=k时,成立,即(2-r)^k>2-r^k
(2-r)^(k+1)=(2-r)^k·(2-r)>(2-r^k)(2...

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证明:(1)n=2时,(2-r)^2=4-4r+4^2=2-r^2+2(1-2r+r^2)=2-r^2+2(1-r)^2
∵0∴2(1-r)^2>0 01
∴(2-r)^2>2-r^2。得证
(2)假设n=k时,成立,即(2-r)^k>2-r^k
(2-r)^(k+1)=(2-r)^k·(2-r)>(2-r^k)(2-r)=2-r^(k+1)+2[1-r-r^k+r^(k+1)]=2-r^(k+1)+2(1-r)(1-r^k)
∵0∴0<1-r<1 00
∴(2-r)^(k+1)>2-r^(k+1)
∴综上,n≥2时,成立

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当n = 2时,(2-r)² - (2-r^n) = 2(r-1)² >= 0
∴当n=2不等式成立。
假设当n = k(k > 2)时不等式(2-r)^n > 2 - r^n成立。
则当n = k + 1时有
(2-r)^(k+1) - [2 - r^(k+1)]
= 4-2r^k-2r+r^(k+1) - 2 + r^(k+1)

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当n = 2时,(2-r)² - (2-r^n) = 2(r-1)² >= 0
∴当n=2不等式成立。
假设当n = k(k > 2)时不等式(2-r)^n > 2 - r^n成立。
则当n = k + 1时有
(2-r)^(k+1) - [2 - r^(k+1)]
= 4-2r^k-2r+r^(k+1) - 2 + r^(k+1)
=2[r^(k+1) - r^k - r + 1]
=2(r^k - 1)(r-1)
∵0∴2(r^k - 1)(r-1)>0
∴(2-r)^(k+1) > 2 - r^(k+1)
故当n = k+1时不等式也成立。
所以对于n>=2时,不等式都成立

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