如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,OA=3,OC=4,P为直线AB上一动点,将直线OP绕点P逆时针方向

如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,OA=3,OC=4,P为直线AB上一动点,将直线OP绕点P逆时针方向
如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,OA=3,OC=4,P为直线AB上一动点,将直线OP绕点P逆时针方向

如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,OA=3,OC=4,P为直线AB上一动点,将直线OP绕点P逆时针方向
证明：（1）∵PO⊥PQ,
∴∠APO+∠BPQ=90°,
在Rt△AOP中,∠APO+∠AOP=90°,
∴∠BPQ=∠AOP,
∴△AOP∽△BPQ,则 APOA=BQBP,
即OA•BQ=AP•BP．（3分）
（2）∵OA•BQ=AP•BP,即BQ= m(4-m)3,
∴l=3- 4m-m23=13(m2-4m+4)+53=13(m-2)2+53
∴当m=2时,l有最小值 53．（6分）
（3）解法一：
∵△POQ是等腰三角形
①若P在线段AB上,∠OPQ=90°
∴PO=PQ,又△AOP∽△BPQ,
∴△AOP≌△BPQ
∴PB=AO,即3=4-m,
∴m=1,即P点坐标（1,3）（8分）
②若P在线段AB的延长线上,PQ交CB的延长线于Q,PO=PQ,
又∵△AOP∽△BPQ,
∴△AOP≌△BPQ,
∴AO=PB,即3=m-4,即P点的坐标（7,3）,
故存在P1（1,3）,P2（7,3）使△POQ为等腰三角形．（10分）
解法二：
∵△POQ是等腰三角形
∴PO=PQ,
即PA2+AO2=PB2+BQ2（7分）
则m2+32=（4-m）2+（ 4m-m2/3）2（8分）
整理得m4-8m3+16m2-72m+63=0
m4-8m3+7m2+9m2-72m+63=0
m2（m2-8m+7）+9（m2-8m+7）=0
（m-1）（m-7）（m2+9）=0
∴m1=1,m2=7,m2=-9（舍去）
故存在P1（1,3）,P2（7,3）使△POQ为等腰三角形．（10分）

可以说下问题吗?

证明：（1）∵PO⊥PQ，
∴∠APO+∠BPQ=90°，
在Rt△AOP中，∠APO+∠AOP=90°，
∴∠BPQ=∠AOP，
∴△AOP∽△BPQ，则 APOA=BQBP，
即OA•BQ=AP•BP
（2）∵OA•BQ=AP•BP，即BQ= m(4-m)3，
∴l=3- 4m-m23=13...

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证明：（1）∵PO⊥PQ，
∴∠APO+∠BPQ=90°，
在Rt△AOP中，∠APO+∠AOP=90°，
∴∠BPQ=∠AOP，
∴△AOP∽△BPQ，则 APOA=BQBP，
即OA•BQ=AP•BP
（2）∵OA•BQ=AP•BP，即BQ= m(4-m)3，
∴l=3- 4m-m23=13(m2-4m+4)+53=13(m-2)2+53
∴当m=2时，l有最小值 53
（3）解法一：
∵△POQ是等腰三角形
①若P在线段AB上，∠OPQ=90°
∴PO=PQ，又△AOP∽△BPQ，
∴△AOP≌△BPQ
∴PB=AO，即3=4-m，
∴m=1，即P点坐标（1，3）
②若P在线段AB的延长线上，PQ交CB的延长线于Q，PO=PQ，
又∵△AOP∽△BPQ，
∴△AOP≌△BPQ，
∴AO=PB，即3=m-4，即P点的坐标（7，3），
故存在P1（1，3），P2（7，3）使△POQ为等腰三角形
解法二：
∵△POQ是等腰三角形
∴PO=PQ，
即PA2+AO2=PB2+BQ2
则m2+32=（4-m）2+（ 4m-m2/3）2
整理得m4-8m3+16m2-72m+63=0
m4-8m3+7m2+9m2-72m+63=0
m2（m2-8m+7）+9（m2-8m+7）=0
（m-1）（m-7）（m2+9）=0
∴m1=1，m2=7，m2=-9（舍去）
故存在P1（1，3），P2（7，3）使△POQ为等腰三角形

收起

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OA=4cm,OC=3cm,动点E、F分别从O、B同时出发，以每秒1厘米的速度运动。其中，点E沿OA向终点A点运动，点F沿BC向终点C点运动，过点F作FP⊥BC,交AC于点P,连结EP.用ⅹ表示动点运动的时间。
⑴分别写出当动点运动了1秒、2秒及ⅹ秒时P点的坐标；
⑵试求△EPA面积y与x的函数关系式，并求出x为何值时，△EPA的面积最...

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如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OA=4cm,OC=3cm,动点E、F分别从O、B同时出发，以每秒1厘米的速度运动。其中，点E沿OA向终点A点运动，点F沿BC向终点C点运动，过点F作FP⊥BC,交AC于点P,连结EP.用ⅹ表示动点运动的时间。
⑴分别写出当动点运动了1秒、2秒及ⅹ秒时P点的坐标；
⑵试求△EPA面积y与x的函数关系式，并求出x为何值时，△EPA的面积最大；
⑶探索：当x为何值时△EPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出P点坐标。

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（1）∵PO⊥PQ，
∴∠APO+∠BPQ=90°，
在Rt△AOP中，∠APO+∠AOP=90°，
∴∠BPQ=∠AOP，
∴△AOP∽△BPQ，则 ，AP/OA=BQ/BP
即OA?BQ=AP?BP．
（2）∵OA?BQ=AP?BP，即BQ=m(4-m)/3 ，
∴l=3- (4m-m^2)/3=1/3(m^2-4m+4)+5/3=1/3...

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（1）∵PO⊥PQ，
∴∠APO+∠BPQ=90°，
在Rt△AOP中，∠APO+∠AOP=90°，
∴∠BPQ=∠AOP，
∴△AOP∽△BPQ，则 ，AP/OA=BQ/BP
即OA?BQ=AP?BP．
（2）∵OA?BQ=AP?BP，即BQ=m(4-m)/3 ，
∴l=3- (4m-m^2)/3=1/3(m^2-4m+4)+5/3=1/3(m^2-2)^2+5/3
∴当m=2时，l有最小值5/3 ．
（3）
∵△POQ是等腰三角形
①若P在线段AB上，∠OPQ=90°
∴PO=PQ，又△AOP∽△BPQ，
∴△AOP≌△BPQ
∴PB=AO，即3=4-m，
∴m=1，即P点坐标（1，3）
②若P在线段AB的延长线上，PQ交CB的延长线于Q，PO=PQ，
又∵△AOP∽△BPQ，
∴△AOP≌△BPQ，
∴AO=PB，即3=m-4，即P点的坐标（7，3），
故存在P1（1，3），P2（7，3）使△POQ为等腰三角形．

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太简单了点点滴滴地对地导弹地对地导弹地对地导弹地对地导弹地对地导弹地对地导弹地对地导弹地对地导弹地对地导弹地对地导弹地对地导弹地对地导弹（1）∵PO⊥PQ，
∴∠APO+∠BPQ=90°，
在Rt△AOP中，∠APO+∠AOP=90°，
∴∠BPQ=∠AOP，
∴△AOP∽△BPQ，则 ，AP/OA=BQ/BP
即OA?BQ=AP?BP．
（2）∵O...

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太简单了点点滴滴地对地导弹地对地导弹地对地导弹地对地导弹地对地导弹地对地导弹地对地导弹地对地导弹地对地导弹地对地导弹地对地导弹地对地导弹（1）∵PO⊥PQ，
∴∠APO+∠BPQ=90°，
在Rt△AOP中，∠APO+∠AOP=90°，
∴∠BPQ=∠AOP，
∴△AOP∽△BPQ，则 ，AP/OA=BQ/BP
即OA?BQ=AP?BP．
（2）∵OA?BQ=AP?BP，即BQ=m(4-m)/3 ，
∴l=3- (4m-m^2)/3=1/3(m^2-4m+4)+5/3=1/3(m^2-2)^2+5/3
∴当m=2时，l有最小值5/3 ．
（3）
∵△POQ是等腰三角形
①若P在线段AB上，∠OPQ=90°
∴PO=PQ，又△AOP∽△BPQ，
∴△AOP≌△BPQ
∴PB=AO，即3=4-m，
∴m=1，即P点坐标（1，3）
②若P在线段AB的延长线上，PQ交CB的延长线于Q，PO=PQ，
又∵△AOP∽△BPQ，
∴△AOP≌△BPQ，
∴AO=PB，即3=m-4，即P点的坐标（7，3），
故存在P1（1，3），P2（7，3）使△POQ为等腰三角形．

收起

（1）∵PO⊥PQ，
∴∠APO+∠BPQ=90°，
在Rt△AOP中，∠APO+∠AOP=90°，
∴∠BPQ=∠AOP，
∴△AOP∽△BPQ，则 ，AP/OA=BQ/BP
即OA?BQ=AP?BP．
（2）∵OA?BQ=AP?BP，即BQ=m(4-m)/3 ，
∴l=3- (4m-m^2)/3=1/3(m^2-4m+4)+5/3=1/3...

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（1）∵PO⊥PQ，
∴∠APO+∠BPQ=90°，
在Rt△AOP中，∠APO+∠AOP=90°，
∴∠BPQ=∠AOP，
∴△AOP∽△BPQ，则 ，AP/OA=BQ/BP
即OA?BQ=AP?BP．
（2）∵OA?BQ=AP?BP，即BQ=m(4-m)/3 ，
∴l=3- (4m-m^2)/3=1/3(m^2-4m+4)+5/3=1/3(m-2)^2+5/3
∴当m=2时，l有最小值5/3 ．
（3）
∵△POQ是等腰三角形
①若P在线段AB上，∠OPQ=90°
∴PO=PQ，又△AOP∽△BPQ，
∴△AOP≌△BPQ
∴PB=AO，即3=4-m，
∴m=1，即P点坐标（1，3）
②若P在线段AB的延长线上，PQ交CB的延长线于Q，PO=PQ，
又∵△AOP∽△BPQ，
∴△AOP≌△BPQ，
∴AO=PB，即3=m-4，即P点的坐标（7，3），
故存在P1（1，3），P2（7，3）使△POQ为等腰三角形．

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