已知关于x的不等式（kx-k²-4）(x-4)>0,其中k∈R,试求不等式解集A.

已知关于x的不等式（kx-k²-4）(x-4)>0,其中k∈R,试求不等式解集A.
已知关于x的不等式（kx-k²-4）(x-4)>0,其中k∈R,试求不等式解集A.

已知关于x的不等式（kx-k²-4）(x-4)>0,其中k∈R,试求不等式解集A.



答：
不等式(kx-k²-4)(x-4)>0
分解为两个不等式组：
kx-k²-4>0
x-4>0,x>4
或者：
kx-k²-4<0
x-4<0,x<4
1）第一种情况：x>4
kx-k²-4>0
当k=0时,不符合；所以：k≠0
当k<0时,两边同除以k：x<k+4/k<0,与x>0矛盾；
当k>0时,两边同除以k：x>k+4/k>=2√(k*4/k)=4,所以：x>4
2）第二种情况：x<4
kx-k²-4<0
当k=0时,-4<0符合；
当k<0时,两边同除以k：x>k+4/k,所以：k+4/k<x<4
当k>0时,两边同除以k：x<k+4/k,因为：k+4/k>=4,所以：x<4

综上所述,不等式(kx-k²-4)(x-4)>0的解集A为：
k=0时,A={x|x<4}
k>0时,A={x|x≠4}
k<0时,A={x|k+1/k<x<4}

k=0 -4(x-4)>0 x-4<0 A={x|x<4}
k≠0 x1=4 x2=(k^2+4)/k
k>0时 x2=k+4/k≥2√4=4 k=2时 ( 2x-8)(x-4)>0 A={x|x≠4}
k>0且k≠2时 A={x|x＞(k^2+4)/k或x<4}
k<0时 (-kx+k^2+4)(x-4)<0
x1=4 x2=(k^2+4)/k <0 A={x|(k^2+4)/k

原题是这样的：
已知关于x的不等式（kx-k2-4）（x-4）＞0，其中k∈R．
（1）当k变化时，试求不等式的解集A；
（2）对于不等式的解集A，若满足A∩Z=B（其中Z为整数集）．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由．


考点：一元二次不等式与一元二次方程．

全部展开

原题是这样的：
已知关于x的不等式（kx-k2-4）（x-4）＞0，其中k∈R．
（1）当k变化时，试求不等式的解集A；
（2）对于不等式的解集A，若满足A∩Z=B（其中Z为整数集）．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值，并用列举法表示集合B；若不能，请说明理由．


考点：一元二次不等式与一元二次方程．

分析：（1）对k的讨论是本题解题的关键，考虑到方程类型，最高次项系数的正负及根的大小等因素．
（2）由（1）的讨论为基础，继续分析B中元素的个数并比较元素最少的情况
（1）当k=0时，A=（-∞，4）；
当k＞0且k≠2时，A=(-∞，4)∪(k+4
k
，+∞)；
当k=2时，A=（-∞，4）∪（4，+∞）；
当k＜0时，A=(k+
4
k
，4)．
（2）由（1）知：当k≥0时，集合B中的元素的个数无限；
当k＜0时，集合B中的元素的个数有限，此时集合B为有限集．
因为k+
4
k
≤-4，当且仅当k=-2时取等号，
所以当k=-2时，集合B的元素个数最少．
此时A=（-4，4），故集合B={-3，-2，-1，0，1，2，3}．

点评：本题考查的分类讨论的思想，这也是高中数学中经常考查的思想内容．

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