已知函数f(x)=ax^2+1（a>0）g(x)=x^3+bx 当a^2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间（-∞,-1】上的最大值

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/23 19:44:39

已知函数f(x)=ax^2+1（a>0）g(x)=x^3+bx 当a^2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间（-∞,-1】上的最大值
已知函数f(x)=ax^2+1（a>0）g(x)=x^3+bx 当a^2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间
（-∞,-1】上的最大值

已知函数f(x)=ax^2+1（a>0）g(x)=x^3+bx 当a^2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间（-∞,-1】上的最大值
令h(x)=f(x)+g(x)=x^3+ax^2+bx+1
求导得：h'(x)=3x^2+2ax+b
由a>0及a^2=4b知：
h'(x)=3x^2+2ax+b=h'(x)=3x^2+2ax+a^2/4=(3x+a/2)(x+a/2)
h'(x)=0得x=-a/2 ,x=-a/6
所以h(x)=f(x)+g(x)的单调增区间为(-∞,-a/2]∪[-a/6,+∞),单调减区间为[-a/2,-a/6]

要求h(x)在(-∞,-1]最大值,就需要讨论a(a>0)：
1)-1≤-a/2,即02)-a/2<-1<-a/6,即2 所以最大值为h(-a/2)=-a^3/8+a^3/4-ab/2+1=1
3)-a/6≤-1,即a≥6时,h(x)在(-∞,-a/2]∪[-a/6,-1]上单调递增,在[-a/2,-a/6]上单调递减
所以最大值在x=-a/2和x=-1之间取得
h(-a/2)=1 h(-1)=a-a^2/4=-(a/2-1)^2+1<1
故最大值为h(-a/2)=1
综上所述： 0 a>2时,最大值为1

单调增区间（-∞，-a/2),(-a/6，+∞）
当0＜a≤2时最大值为F（-1）
当2＜a≤6时最大值F (-a/2)
当6≤a时最大值为F（-1）与F（-a/2)中大的那个

F(x)=f(x)+g(x)=ax^2+1+x^3+bx
F'(x)=3x^2+2ax+b=3x^2+2ax+a^2/4=1/4(12x^2+8ax+a^2)=1/4(2x+a)(6x+a)
F'(x)>0,时有x<-a/2,x>-a/6,即单调增区间是（-无穷，-a/2)U(-a/6,+无穷）
F'(x)<0时有-a/2

已知函数f（x）=ln(ax+1)+x^2-ax,a>0 讨论单调区间已知函数f(x)=ax^2+bx+1(a,b为实数）,x属于R,F(x)={f(x),x>0 -f(x),x 已知函数f(x)=x^3+2ax^2+1/ax(a>0),则f(2)最小值已知函数f（x）=ax^2+bx+c若a=1,c=0,且|f(x)| 已知常数a>0,函数f(x)=ln(1+ax)-2x/x+2 已知函数f(x)={ax2+1,x≥0 (a+2)e^ax,x 已知函数f(x)=ln(ax+1)+x²-ax,a>0讨论函数f(x)的单调区间已知函数f(x)=ln(ax+1)+x²-ax(a＞0) （1）若x=1/2是函数f(x)的一个极值点求a （2）讨论函数f(x)的单已知函数f(x)=ln(ax+1)+x²-ax(a＞0)（1）若x=1/2是函数f(x)的一个极值点求a（2）讨论函数f(x)的单已知函数f(x)=(x²-2x/a+1/a)e^ax(a>0),讨论函数单调性已知 a∈R＋,函数f（x）=ax^2+2ax+1 若f(m) 已知函数f(x)=-x^2+ax+1/2-a/4(0 已知函数f(x)=x/ax+b(a,b为常数,且a≠0)满足f（2）=1,f（x）=x只有唯一的实数解,试求函数y=f(x)的解析式.题中f(x)=x/ax+b为 f(x)=x/(ax+b),ax+b是整体已知函数f(x)=-x的平方+2ax+1-a在0 已知函数f（x）=ax+1-2a（x 已知函数f(x)=aln(x+1)+1/2x^2-ax+1（a>0）.求函数y=f(x)的极值已知函数f（x）=ax+㏑x（a 已知函数f(x)=ax-a/x-2lnx 已知函数f（x）=ax^2+x-a,a∈R,解不等式f（x）＞1