作业帮已知抛物线C:y^2=8x与点m(-2,2),过C的焦点的直线L与C交于A,B两点,且向量MA;MB=0,求|AB|
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 16:00:35
已知抛物线C:y^2=8x与点m(-2,2),过C的焦点的直线L与C交于A,B两点,且向量MA;MB=0,求|AB|
已知抛物线C:y^2=8x与点m(-2,2),过C的焦点的直线L与C交于A,B两点,且向量MA;MB=0,求|AB|
已知抛物线C:y^2=8x与点m(-2,2),过C的焦点的直线L与C交于A,B两点,且向量MA;MB=0,求|AB|
令A(a²/8, a), B(b²/8, b)，不影响结果，不妨设a > 0
y² = 8x = 2px, p = 4, 焦点F(2, 0), 准线x = -2
AB的方程:
(y - b)/(a - b) = (x - b²/8)/(a²/8 - b²/8)
过F(2, 0), 从上式可得ab = -16...
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令A(a²/8, a), B(b²/8, b)，不影响结果，不妨设a > 0
y² = 8x = 2px, p = 4, 焦点F(2, 0), 准线x = -2
AB的方程:
(y - b)/(a - b) = (x - b²/8)/(a²/8 - b²/8)
过F(2, 0), 从上式可得ab = -16 (1)
向量MA = (a²/8 + 2, a - 2), 向量MB = (b²/8 + 2, b - 2)
二者的点乘= (a²/8 + 2)(b²/8 + 2) + (a - 2)(b - 2) = (a²b²)/64 + (a² + b²)/4 + 4 + ab - 2(a + b) + 4
= 4 + [(a + b)² - 2ab]/4 + 4 - 16 - 2(a + b) + 4
= (a + b)²/4 - 2(a + b) + 4
= (a + b - 4)²/4 = 0
a + b = 4 (2)
由(1)(2): a = 2(1 + √5), b = 2(1 - √5)
A(3+√5, 2 + 2√5), B(3-√5, 2 - 2√5)
按抛物线的定义：
|AB| = A与准线的距离+B与准线的距离
= 3+√5 -（-2） + 3 -√5 -(-2)
= 10
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