作业帮为了使抛物线(y+1)^2=x+1上存在两点关于直线y=mx对称,求m的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/26 01:25:00
为了使抛物线(y+1)^2=x+1上存在两点关于直线y=mx对称,求m的取值范围
为了使抛物线(y+1)^2=x+1上存在两点关于直线y=mx对称,求m的取值范围
为了使抛物线(y+1)^2=x+1上存在两点关于直线y=mx对称,求m的取值范围
假设抛物线上存在那样的两个点 (p,q),(r,s)
它们关于 y = mx 对称.则
(q+1)^2 = p+1
(s+1)^2 = r+1
(s-q)/(r-p) = -1/m （两点联线与y=mx直线垂直,斜率互为负倒数）
(q+s)/2 = m*(p+r)/2 （两点联线的中点在 y =mx上）
前面的两个式子代入到后面的2个式子中.消 p r
(s-q)/[(q+1)^2 - (s+1)^2] = 1/m
q+s = m*[(q+1)^2 + (s+1)^2 -2]
化简
(q+s+2)(q-s)/(s-q) = m
q+s = m(q^2 + 2q + s^2 + 2s)
从 抛物线 (y+1)^2 = x + 1 的函数图象判断,当存在 s=q 的那样两点时,所求直线是 y = -1 .除此情况之外,上面第一个式子进一步化简为
q+s+2 = -m
以 q = -(m+s+2) 代入另一个式子
-m-2 = m*[(m+s+2)^2 - 2(m+s+2) + s^2 + 2s]
整理
-m-2 = m*(m^2 + s^2 + 4 + 2ms + 4m + 4s - 2m - 2s - 4 + s^2 + 2s)
-m-2 = m*[2s^2 + 2(m+2)s + m^2 + 2m]
2ms^2 + 2m(m+2)s + m^3 + 2m^2 + m + 2 = 0
若存在那样两点,则 关于s的方程有两个解.这两个解归 s 和 q 共同所有.判别式大于0.
判别式 = [2m(m+2)]^2 - 4*2m*(m^3 + 2m^2 + m+2)
= 4m^4 + 16m^3 + 16m^2 - 8m^4 - 16m^3 - 8m^2 - 16m
= -4m^4 + 8m^2 - 16m
= -4m*(m^3 - 2m + 4)
= -4m*(m+2)(m^2 -2m + 2)
其中 m^2 - 2m + 2 = (m-1)^2 + 1 恒大于0.
为此只需要
-4m*(m+2) > 0
m(m+2) < 0
-2 < m
这题目有点难. 是竞赛题吧?