已知二次函数f(x)=ax²+bx+c满足|f(1)|=|f(-1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表达式

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c满足|f(1)|=|f(-1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表达式
已知二次函数f(x)=ax²+bx+c满足|f(1)|=|f(-1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表达式

已知二次函数f(x)=ax²+bx+c满足|f(1)|=|f(-1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表达式
^2是平方
由|f(1)|=1得|a*1^2+b*1+c|=1,即|a+b+c|=1,a+b+c=±1
由|f(-1)|=1得|a*(-1)^2+b*(-1)+c|=1,即|a+b+c|=1,a-b+c=±1
由|f(0)|=1得|a*0^2+b*0+c|=1,即|c|=1,c=±1
这样可以分类讨论了：
1° a+b+c=1 ①
1.1° a-b+c=1 ②
则由①-②得2b=0,b=0,由①+②得2(a+c)=2,a=1-c
由于二次函数解析式中,a≠0,所以1-c≠0,即c≠1
则c=-1,a=1-(-1)=2,此时f(x)=2x^2-1
1.2° a-b+c=-1 ③
则由①-③得2b=2,b=1,由①+③得2(a+c)=0,a=-c
1.2.1° c=1,则a=-1,此时f(x)=-x^2+x+1
1.2.2° c=-1,则a=1,此时f(x)=x^2+x-1
2° a+b+c=-1 ④
2.1° a-b+c=-1 ⑤
则由④-⑤得2b=-2,b=0,由①+②得2(a+c)=-2,a=-1-c
由于二次函数解析式中,a≠0,所以-1-c≠0,即c≠-1
则c=1,a=-1-1=-2,此时f(x)=-2x^2+1
2.2° a-b+c=1 ⑥
则由④-⑥得2b=-2,b=-1,由④+⑥得2(a+c)=0,a=-c
1.2.1° c=1,则a=-1,此时f(x)=-x^2-x+1
1.2.2° c=-1,则a=1,此时f(x)=x^2-x-1
综上所述：f(x)=2x^2-1,或f(x)=-x^2+x+1,
或f(x)=x^2+x-1,或f(x)=-2x^2+1,或f(x)=-x^2-x+1,或f(x)=x^2-x-1

如图，

当x=-1时，y=土1，∴图像过点A(-1，1)或A'(-1，-1)

同理，图像过点B(0，1)或B'(0，-1)，点C(1，1)或C'(1，-1)

又∵二次函数图像无三点共线，

∴A、B、C和A'、B'、C'不符题意，

另外六种都符合，

∴f(x)的表达式共有6种。

（具体可通过三点求解析式）