已知抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中点A在x轴的负半轴上,点C在y轴的负半轴上,线段OA,OC的长（OA＜OC）是方程x^2-5x+4=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=1.（1）求A,B,C三点的

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 14:18:50

已知抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中点A在x轴的负半轴上,点C在y轴的负半轴上,线段OA,OC的长（OA＜OC）是方程x^2-5x+4=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=1.（1）求A,B,C三点的
已知抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中点A在x轴的负半轴上,点C在y轴的负半轴上,线段OA,OC的长（OA＜OC）是方程x^2-5x+4=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=1.
（1）求A,B,C三点的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A,B）不重合）,过点D作DE平行BC交AC于点E,连接CD,设BD的长为m,三角形CDE的面积为S,求S与m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围,S是否存在最大值?若存在,求出最大值并求此时D点坐标；若不存在,请说明理由.

已知抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,其中点A在x轴的负半轴上,点C在y轴的负半轴上,线段OA,OC的长（OA＜OC）是方程x^2-5x+4=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=1.（1）求A,B,C三点的
【分析】
本题综合运用了待定系数法求函数解析式,相似三角形的性质,以及求函数的最值；

（1）解方程x²-5x+4=0,求出两根,得到OA,OC的长,即可以得到A,C两点的坐标,已知抛物线的对称轴是x=1,A,B一定关于对称轴对称,因而B的坐标也可以相应求出；
（2）已知A,B,C三点的坐标,根据待定系数法就可以求出函数的解析式；
（3）已知DE∥BC,则得到△AED∽△ACB,AB,AC的长度可以根据第一问求出,AD可以用m表示出来,根据相似三角形的对应边的比相等,就可以求出EC的长（用m表示）；△DEC与△ABC的CE,AC边上的高的比,就是△AED和△ACB的相似比,因而EC边上的高也可以用m表示出来,则函数解析式就可求出；S是否存在最大值,可以转化为求函数的最值问题,根据函数的性质就可以得到.

（1）
∵OA、OC的长是x²-5x+4=0的根,OA＜OC
∴OA=1,OC=4
∵点A在x轴的负半轴,点C在y轴的负半轴
∴A（-1,0）C（0,-4）
∵抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=1
∴由对称性可得B点坐标为（3,0）
∴A、B、C三点坐标分别是：
A（-1,0）,B（3,0）,C（0,-4）
（2）
∵点C（0,-4）在抛物线y=ax²+bx+c图象上
∴c=-4
将A（-1,0）,B（3,0）代入：
y=ax²+bx-4
得到方程组：
a-b-4=0
9a+3b-4=0
解之得：
a=4/3
b=-8/3
∴所求抛物线解析式为：
y=(4/3)x²-(8/3)x-4
（3）
根据题意,BD=m
则AD=4-m
在Rt△OBC中：
BC=√(OB²+OC²)=5
∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴DE/BC=AD/AB
∴DE=AD•BC/AB=5(4-m)/4=(20-5m)/4
过点E作EF⊥AB于点F
则sin∠EDF=sin∠CBA=OC/BC=45
∴EF/DE=45
∴EF=(4/5)·DE=(4/5)×(20-5m)/4=4-m
∴S△CDE=S△ADC-S△ADE
=(1/2)(4-m)×4-1/2(4-m)(4-m)
=-(1/2)m²+2m（0＜m＜4）
∵S=-(1/2)(m-2)²+2,a=-1/2＜0
∴当m=2时,S有最大值2
∴点D的坐标为（1,0）

全部展开

（1）和（2）
x^2-5x+4=0的两个根分别为1和4
OA＜OC，即OA=1，OC=4
过C（0，-4）A（-1,0）
对称轴-b/2a=1
根据对称性，B与A关于x=1对称，则B（3,0）
解得：a=4/3，b=-8/3，c=-4
解析式：y=4/3x²-8/3x-4
（3）可知△ADE∽△ABC，相似比为AD：AB=（4-m）：4
面积比为相似比的平方，根据（1）的结论，S△ABC=8
则作差，BCED面积为8-【（4-m）²/2】
由于S△BCD=4*m/2=2m
即S△CDE=S=8-【（4-m）²/2】-2m=2m-（m²/2）=（-m²/2）+2m
当m=2时，S最大，为2

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