作业帮如图,E,F,G,H分别为正方形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且AE=BE=CG=DH=1/3AB,则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 02:00:38
如图,E,F,G,H分别为正方形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且AE=BE=CG=DH=1/3AB,则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为多少?
如图,E,F,G,H分别为正方形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且AE=BE=CG=DH=1/3AB,则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为多少?
如图,E,F,G,H分别为正方形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且AE=BE=CG=DH=1/3AB,则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为多少?
这个题有一个通用的解法,例如AE=BF=CG=DH=¹/nAB
设AF交ED、BG于K、L,CH交BG、ED于M、N
∵AE=CG,∴EB=GD,∴BGDE为平行四边形,∴BG∥ED;同理,AF∥HC;
在Rt△ABF和Rt△BCG中,∵AB=BC,BF=CG,∴Rt△ABF≌Rt△BCG,∴∠BAF=∠CAG
∴∠BAF+∠CBG=90°,∴KLMN为正方形
设AB=1,则AE=BF=CG=DH=¹/n；
AF²=AB²+BF²=1+1/n²,∴AF=√(1+1/n²)
△ABF∽△AKE,∴AF:AE=BF:KE,∴KE=BF•AE/AF=1/(n²√(1+1/n²))=1/(n√(1+n²))
∴AK²=AE²-KE²=1/n²-1/(n²(1+n²))=((1+n²)-1)/(n²(1+n²))=1/(1+n²)
∴AK=1/√(1+n²)∴KL=AF-AK-LF=√(1+1/n²)-1/√(1+n²)-1/(n√(1+n²))=(n-1)/√(1+n²)
KLMN面积=KL²=（n-1)²/(1+n²)-----------通用公式
当n=3时,面积比为(3-1)²/(1+3²)=4/10=2/5
当然,可以直接用3代替n