作业帮在三角形ABC中,E,F分别是AB,AC上的点.①AD平分角∠BAC；②DE垂直于AB,DF垂直于AC③AD垂直于EF.以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,即：①②->③,①③->②,②③->①.(1)试判断上
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 21:42:43
在三角形ABC中,E,F分别是AB,AC上的点.①AD平分角∠BAC；②DE垂直于AB,DF垂直于AC③AD垂直于EF.以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,即：①②->③,①③->②,②③->①.(1)试判断上
在三角形ABC中,E,F分别是AB,AC上的点.①AD平分角∠BAC；②DE垂直于AB,DF垂直于AC③AD垂直于EF.
以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,即：①②->③,①③->②,②③->①.
(1)试判断上述三个命题是否正确(直接做答);
(2)请证明你认为正确的命题.
在三角形ABC中,E,F分别是AB,AC上的点.①AD平分角∠BAC；②DE垂直于AB,DF垂直于AC③AD垂直于EF.以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,即：①②->③,①③->②,②③->①.(1)试判断上
第一个命题是正确的,第二、三个命题是错误的.
第一个命题：
∵∠DAE＝∠DAF、DE⊥AE、DF⊥AF,∴由角平分线性质,有：DE＝DF.
∵∠DAE＝∠DAF、∠AED＝∠AFD＝90°、DE＝DF,∴△ADE≌△ADF,∴AE＝AF.
∵∠GAE＝∠GAF、AE＝AF,∴AG⊥EF,∴AD⊥EF.
第二个命题：
∵∠DAE＝∠DAF、AD⊥EF,∴EG＝FG,∴AD是EF的垂直平分线.
显然,将EF进行平移,只要确保EF⊥AD且被AD平分,都有∠DAE＝∠DAF.
这样一来,就无法确保DE⊥AB、DF⊥AC.
∴这个命题是不能成立的.
第三个命题：
∵DE⊥AE、EG⊥AD,∴∠DEF＝∠DAE.［同是∠ADE的余角］
∵DF⊥AF、FG⊥AD,∴∠DFE＝∠DAF.［同是∠ADF的余角］
∴要使∠DAE＝∠DAF,就需要∠DEF＝∠DFE.
对于△DEF,已有DG⊥EF,∴要使∠DEF＝∠DFE成立,就需要满足下列条件之一：
1、DE＝DF；2、∠EDG＝∠FDG；3、EG＝FG；4、AE＝AF；5、∠AEF＝∠AFE.
但这些条件没有给出,也无法推出,∴这个命题是不能成立的.