作业帮设函数f(x)=ax^2+bx+c,且f(1)=-a/2,3a>2c>2b,求证：a>0且-3
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 14:18:47
设函数f(x)=ax^2+bx+c,且f(1)=-a/2,3a>2c>2b,求证：a>0且-3
设函数f(x)=ax^2+bx+c,且f(1)=-a/2,3a>2c>2b,求证：a>0且-3
设函数f(x)=ax^2+bx+c,且f(1)=-a/2,3a>2c>2b,求证：a>0且-3
由于f(1)=-a/2
3a/2 +b+c=0
b/a = -c/a - 3/2
找a与c的关系
由于3a>2c
c/a<3/2
-c/a>-3/2
所以b/a>-3/2 - 3/2
即b/a>-3
其他的同理
1.
f(1)=a+b+c=-a/2
把这个式子整理一下，得到3a+2b+2c=0，题设说 3a，2c,2b这三个数有关系3a>2c>2b，它们相加为0，一定有3a>0,2b<0
即a>0,b<0
2.
f(0)=c,f(2)=4a+2b+c=(3a+2b+2c)+(a-c)=a-c,注意到3a>2c，即c<3a/2,且a>0，接下来要分类讨论了：
...
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1.
f(1)=a+b+c=-a/2
把这个式子整理一下，得到3a+2b+2c=0，题设说 3a，2c,2b这三个数有关系3a>2c>2b，它们相加为0，一定有3a>0,2b<0
即a>0,b<0
2.
f(0)=c,f(2)=4a+2b+c=(3a+2b+2c)+(a-c)=a-c,注意到3a>2c，即c<3a/2,且a>0，接下来要分类讨论了：
0
c<0时
这时f(0)=c<0,f(2)=a-c>0，在(0,2)间必有零点；
0
联立可得-b/2a的范围为(5/4,3/2),是在（0,2)区间内，方程判别式
b^2-4ac=(3a+2c)^4-4ac=(9a^2-4ac+4c^2)/4,这个式子配方后是两个完全平方的和，所以原方程判别式不大于等于0，即原方程一定与x轴有交点，又f(0)>0,f(2)>0,可知这个交点一定在(0,2)间
c=0或c=2时，这个可以单独提出来算一下，可以得到确定的结果，是满足题设的。
3.
由韦达定理x1+x2=-b/a,x1x2=c/a
可以得到|x1-x2|=[√(b^2-4ac)]/|a|，用等式3a+2b+2c=0把b用a,c代替，再用c<3a/2把式子中的c用a代换，即可求解
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