四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,其中AB=3,PA=4,若在线段PD上存在点E使得BE⊥CE,求线段AD的并求当线段PD上有且只有一个点E使得BE⊥CE时,二面角E-BC-A的正切值的大小.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 19:45:15

四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,其中AB=3,PA=4,若在线段PD上存在点E使得BE⊥CE,求线段AD的并求当线段PD上有且只有一个点E使得BE⊥CE时,二面角E-BC-A的正切值的大小.
四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,其中AB=3,PA=4,若在线段PD上存在点E使得BE⊥CE,求线段AD的
并求当线段PD上有且只有一个点E使得BE⊥CE时,二面角E-BC-A的正切值的大小.

四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,其中AB=3,PA=4,若在线段PD上存在点E使得BE⊥CE,求线段AD的并求当线段PD上有且只有一个点E使得BE⊥CE时,二面角E-BC-A的正切值的大小.
1.建坐标系与图形,如图.
   设A为原点,AD长度为a,E坐标为(0,ey,ez).
    B(3,0,0),C(3,a,0),D(0,a,0)
  求得直线PD方程为:Z=-(4y/a)+4.
   得E坐标为（0,ey,-(4ey/a)+4）
  因为BE⊥CE,所以
  向量EB  点乘向量EC = 0
   ((3,0,0)-(0,ey,-(4ey/a)+4))点乘((3,a,0)-(0,ey,-(4ey/a)+4))=0
    (3,-ey,(4ey/a)-4)点乘(3,a-ey,(4ey/a)-4)=0
    得
  [(16/a²)+1]ey²-[a+(32/a)]ey+25=0
    使上式中ey有解,必须
  [a+(32/a)]²-4*[(16/a²)+1]*25≥0
    得
  (a²-18)≥30²
  a²≥48
    得
  a≥4√3
2.由线段PD上有且只有一个点E使得BE⊥CE
   得
   a=4√3
    由
  [(16/a²)+1]ey²-[a+(32/a)]ey+25=0
    得
  ey=(5/2) √3
    得所有点坐标：
   A(0,0,0),B(3,0,0),C(3,4√3,0),D(0,4√3,0),E(0,(5/2) √3,3/2).
     在线段PA上取一点F,连接FE,使FE平行于AD
    则可以算出F(0,0,3/2)
    又AD平行于BC
    得FE平行于BC
     F在EBC平面中
   又AB⊥PA
   所以二面角E-BC-A的正切值=tan(∠FBA)=FA/AB=1.5/3=0.5
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