已知：如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC,AB分别交于点D,E,且∠CBD=∠A．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论；（2）若AD=BD=2,求⊙O的面积．

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 11:27:05

已知：如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC,AB分别交于点D,E,且∠CBD=∠A．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论；（2）若AD=BD=2,求⊙O的面积．
已知：如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC,AB分别交于点D,E,且∠CBD=∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论；
（2）若AD=BD=2,求⊙O的面积．

已知：如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC,AB分别交于点D,E,且∠CBD=∠A．（1）判断直线BD与⊙O的位置关系,并证明你的结论；（2）若AD=BD=2,求⊙O的面积．
（1）直线BD与⊙O相切．
证明：如图1,连接OD．
∵OA=OD,∴∠A=∠ADO．
∵∠C=90°,
∴∠CBD+∠CDB=90°
又∵∠CBD=∠A,
∴∠ADO+∠CDB=90°,
∴∠ODB=180°-（∠ADO+∠CDB）=90°．
∴直线BD与⊙O相切．
（2）连OD、DE．
∵AD=BD,
∴∠A=∠DBA．
在Rt△BDC中,
∵∠C=90°,∠CBD=∠A=∠DBA,
∴3∠A=90°,即有∠A=30°．
由 tan∠A=DEAD,得 DE=AD•tan30°=2×根号3/3=（2根号3）/3
又∠DOE=60°,OD=OE,
∴△DOE为等边三角形,
∴ OD=DE=（2根号3）/3
即⊙O的半径 r=OD=（2根号3）/3
故⊙O的面积 S=πr2=4π/3．

全部展开

（1）连接OD．证直线与圆相切，即证BD⊥OD．由∠CBD+∠CDB=90°，∠CBD=∠A=∠ODA，可得∠ODA+∠CDB=90°．根据平角定义得证；（2）即求圆的半径求解．连接DE，则∠ADE=90°．在Rt△BCA中，∠CDB=∠A=∠ABD，得∠A=30°．从而在△ADE中利用三角函数求解．
（1）直线BD与⊙O相切．（1分）
证明：如图1，连接OD．（2分）
∵OA=OD，∴∠A=∠ADO．（3分）
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°
又∵∠CBD=∠A，（5分）
∴∠ADO+∠CDB=90°，
∴∠ODB=180°-（∠ADO+∠CDB）=90°．
∴直线BD与⊙O相切．（6分）
（2）连OD、DE．
∵AD=BD，
∴∠A=∠DBA．（7分）
在Rt△BDC中，
∵∠C=90°，∠CBD=∠A=∠DBA，
∴3∠A=90°，即有∠A=30°．（8分）
由tan∠A=DEAD，得DE=AD•tan30°=2×33=233．（10分）
又∠DOE=60°，OD=OE，
∴△DOE为等边三角形，
∴OD=DE=233．（10分）
即⊙O的半径r=OD=233，
故⊙O的面积S=πr2=4π3．（12分）

收起

已知如图在RT△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB 已知如图在RT△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB 已知在Rt△ABC,∠C=90°,AC=30cm,BC=40cm.(1)如图(1),四边形EFGH是Rt△ABC的内接正方形(1)如图(1)，四边形EFGH是Rt△ABC的内接正方形，求内接正方形的边长；如图(2)，若在Rt△ABC中并排放置两个三角形，如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,∠1＝∠2,CD=1.5,BD=2.5,求AC的长. 已知如图,在Rt△ABC中.∠C=90°,AD平分∠BAC,CD=1.5,BD=2.5,求AC的长已知:如图 ,在RT△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°.求证:BC=1/2AB 如图,已知在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AE平分∠CAB,BF⊥AE,求证：AE=2BF 如图已知在RT△ABC中 ∠C=90° AB=6 AC=4 求直角三角形内切园半径已知：如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AC的中点.求证：AB²+3BC²=4BD² 如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是斜边AB上的高.求证:CD²=AD*DB 如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是斜边AB上的高.求证:CD²=AD*DB 12.如图,在四边形BCDE中,∠C=∠BED=90度,∠B=60,延长CD,BE,得到Rt△ABC.已知CD=2,DE=1,求Rt△ABC的面积如图,在四边形BCDE中,∠C=∠BED=90°,∠B=60°,延长CD,BE,得到Rt△ABC,已知CD=2,DE=1,求Rt△ABC的面如图,在四边形BCDE中,∠C=∠BED=90°,∠B=60°,延长CD,BE,得到Rt△ABC,已知CD=2,DE=1,求Rt△ABC的面积如图,在Rt△ABC中,∠C等于90°,图中有三个正方形,证明a=b+c? 如图,在Rt△ABC中,角C=90° 根据下列条件求sinA,cosA,tanA的值.(1)如图,Rt△ABC中,∠C=Rt∠,AC=3,AB=5.2)如图,在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,根据下列条件求sinA,cosA,tanA的值.(1)如图1,在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,AC=3,AB=5；(2)如图2,在Rt△ABC中,∠C=Rt∠,AC 如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'已知∠C=∠C'=90°AB=A'B',AC=A'C'说明△ABC=△A'B'C'