作业帮如图,已知 F1,F2 是椭圆 C：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1(a>b>0) 的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF2 与圆 x^2 + y^2 = b^2 相切于点 Q,且点 Q 为线段 PF2 的中点,则椭圆 C 的离心率为__________.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 10:08:02
如图,已知 F1,F2 是椭圆 C：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1(a>b>0) 的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF2 与圆 x^2 + y^2 = b^2 相切于点 Q,且点 Q 为线段 PF2 的中点,则椭圆 C 的离心率为__________.
如图,已知 F1,F2 是椭圆 C：
(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1(a>b>0) 的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF2 与圆 x^2 + y^2 = b^2 相切于点 Q,且点 Q 为线段 PF2 的中点,则椭圆 C 的离心率为__________.
如图,已知 F1,F2 是椭圆 C：(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1(a>b>0) 的左、右焦点,点 P 在椭圆 C 上,线段 PF2 与圆 x^2 + y^2 = b^2 相切于点 Q,且点 Q 为线段 PF2 的中点,则椭圆 C 的离心率为__________.
这道题目主要运用椭圆的第一定义(|PF1|+|PF2|=2a)
根据椭圆的性质知道|PF1|=|PF2|=c,标记椭圆的上顶点为A,则|OA|=b,即圆的半径是b
连接OQ,PF1
根据题目的意思,|QF2|^2=|OF2|^2 - |OQ|^2,带入得|QF2|^2=c^2 - b^2
且|QF2|=|PQ|=√(c^2 - b^2)
所以|PF2|=2√(c^2 - b^2)
|PF1|=2|OQ|=2b (三角形的中位线定理)
所以|PF1|+|PF2|=2b + 2√(c^2 - b^2)=2a (第一定义)
化简得√(c^2 - b^2)=a-b
两边同平方并代入c^2=a^2-b^2
得2a=3b 即 b/a=2/3
e^2=c^2/a^2=(a^2-b^2)/a^2=1 - b^2/a^2
代入b/a=2/3得到e^2=1 - 4/9=5/9
则e=(√5)/3 (还有一个负的舍去)
连接F1P、OP、OQ
∵OQ垂直平分PF2
∴|OP|=|OF2|=c
又∵|OQ|=b
∴|QF2|=√(c²-b²)=√[c²-(a²-c²)]=√(2c²-a²)，|PF2|=2√(2c²-a²)
∵OQ是△PF1F2的中位线
∴|PF1|=2|OQ|=...
全部展开
连接F1P、OP、OQ
∵OQ垂直平分PF2
∴|OP|=|OF2|=c
又∵|OQ|=b
∴|QF2|=√(c²-b²)=√[c²-(a²-c²)]=√(2c²-a²)，|PF2|=2√(2c²-a²)
∵OQ是△PF1F2的中位线
∴|PF1|=2|OQ|=2b
又∵|PF1|+|PF2|=2a
∴2√(2c²-a²) + 2b=2a
即√(2c²-a²) + √(a²-c²)=a
两边同时除以a，得
√(2e² - 1) + √(1-e²) =1
解得e²=1(舍)，e²=5/9
e=√5/3
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