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数学公式
第三章数列
1、常用公式： =
2、等差数列：⑴定义：若 为常数 ,则 是等差数列（证明等差数列的依据）；
⑵通项公式：① ；② ；③
⑶求和公式：① ；② ；③
⑷性质：① 若m+n=p+q（m,n,p,q∈N*）,则
②等差数列中 成等差数列；
③等差数列{ }中 =
3、等比数列：⑴定义：若 为常数 ,则 是等比数列（证明等比数列的依据）；
⑵通项公式：① ；② ；
⑶求和公式：① ；② ； ③
⑷性质：① 若m+n=p+q（m,n,p,q∈N*）,则 ;
②等比数列中 成比差数列；
③等比数列 中.
第四章三角函数
1、 任意圆中圆心角弧度的计算公式：____________；弧长公式：____________；扇形的面积公式：____________.（其中α的单位都是_______）
2、任意角的三角函数的定义：设 是一个任意大小的角, 的终边上任意的一点 ,它与原点的距离是r=_____则： ___, ___, ___, ___, ___, ___.
3、 同角三角函数间的基本关系式：
（1）平方关系：sin2α+cos2α=1；1+tan2α=sec2α；1+cot2α=csc2α
（2）商数关系：
（3）倒数关系：sinα·cscα=1; cosα·secα=1; tanα·cotα=1
4、第一套诱导公式（函数名不变,符号看象限）
（1）sin(2kπ+α)＝_____,cos(2kπ+α)＝_____,tan(2kπ+α)＝____,
（2）sin(－α)＝_______, cos(－α)＝_______, tan(－α)＝_______,
（3）sin(π－α)＝_______, cos(π－α)＝_______, tan(π－α)＝_______,
（4）sin(π+α)＝_______, cos(π+α)＝_______, tan(π+α)＝_______,
（5）sin(2π－α)＝_______, cos(2π－α)＝_______, tan(2π－α)＝_______,
第二套诱导公式（函数名改变,符号看象限）
（1）sin(900－α)＝_______, cos(900－α)＝_______, tan(900－α)＝_______,
（2）sin(900＋α)＝_______, cos(900＋α)＝_______, tan(900＋α)＝_______,
（3）sin(2700－α)＝_______, cos(2700－α)＝_______, tan(2700－α)＝_______,
（4）sin(2700＋α)＝_______, cos(2700＋α)＝_______, tan(2700＋α)＝_______,
5、三角函数的和、差、倍、半公式
（1）和、差角公式：sin(α±β)＝___________,cos(α±β)＝ , tan(α±β)＝___________
▲变形公式： tanα±tanβ＝tan(α±β)（1 tanα·tanβ）
▲ sinx+ cosx＝ （ sinx+ cosx）＝ sin(x+φ),
(其中cosφ= ,sinφ= ,tanφ= )
（2）二倍角公式：sin2α＝2sinα·cosα； cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1=1－2sin2α
▲万能公式：sin2α= ； cos2α= ； tan2α=
▲降次公式：sin2α＝ , cos2α＝
▲变形公式：1+sinα =（sin2 + cos2 ）2；1－sinα =（sin2 －cos2 ）2
1+cosα=2cos2 ； 1－cosα=2 sin2
（3）半角公式：sin ＝________, cos ＝_________,▲tan ＝________＝ ＝ .
6、▲（1）三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性.
（2）函数f（x）=Asin（ωx+φ）,振幅为 ,周期为
若函数f（x）是偶函数,则φ= ；若函数f（x）是偶函数,则φ= .
（3）函数f（x）=Acos（ωx+φ）,振幅为 ,周期为
若函数f（x）是偶函数,则φ= ；若函数f（x）是偶函数,则φ= .
7、函数 ,振幅为A,周期为 .,（1） （2）
（3） ＝相邻的两个最高点（或最底点）之间的距离, ＝相邻两个最高点与最底点的距离,或相邻两个拐点的距离, ＝相邻的最值点与拐点的距离.
第五章平面向量
1、若 （ , ）,P ( , ), （ , ）,P分 所成的比λ
则定比分点坐标公式是 中点坐标公式是
2、若△ABC三顶点的坐标为A（ , ）、B（ , ）、C（ , ）,则△ABC的重心坐标为 .
3、已知 ＝（ , ）, ＝（ , ）,设它们间的夹角是θ,填下表：
定义形式 坐标形式
两向量的数量积 · ＝ · ＝
向量的长度 │ │＝ │ │＝
两向量间的角度 ＝ ＝
在 上的投影
两向量垂直 ⊥ ⊥
两向量平行 ‖ ‖
4、（a+b）（a-b）= ；（a+b）2= ；（a-b）2=
第六章不等式
1、不等式的性质（作用：解决与不等式有关的问题）
（1）不等式的基本性质：a＞b a-b＞0； ； .
（2）对称性：a＞b b＜a ；b＜a .
（3）传递性：a＞b且b＞c ；c＜b 且b＜a .
（4）加法单调性：a＞b ；同向不等式相加：a＞b且c＞d .
（5）不等式变向原则：a＞b且c 0 ac＞bc；a＞b且c 0 ac＜bc .
同向不等式相乘： ac＞bd ； an＞bn （n N,且n＞1）.
（6） ＞ （n N,且n＞1）.
（7）a＞b且ab＞0 ；a＞b且ab＜0
2、几个重要的不等式（作用：（1）证明不等式；（2）解不等式；（3）求最大（小）值）
1．如果a,b ,那么a2+b2≥2ab（当且仅当 时取“=”号）
2．如果a,b ,那么 ≥ （当且仅当 时取“=”号）
3．如果a,b,c ,那么 ≥ （当且仅当 时取“=”号）
5．若a,b都是正数,则 ≤ ≤ ≤ （ 时取等号即称不等式链）
6．若a,b,m都是正数,并且a＜b,比较 ≤ ≤ ≤ .
7．三角形不等式： - ≤ ≤ ＋ ,其中不等式 ≤ ＋ 取“=”号时的充要条件是 ,取“＜”号时的充要条件是 ;
第七章直线和圆
1、若直线的斜率是k,则此直线的一个方向向量是_________；
2、经过两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）的直线斜率公式k =_________；
3、直线方程：⑴点斜式：若直线经过点P1（x1,y1）,且斜率为k,则直线的方程设为_____________,
若直线经过点P1（x1,y1）,且斜率为0,则直线的方程为 ,
若直线经过点P1（x1,y1）,且斜率不存在,则直线的方程为 .
⑵斜截式：若直线斜率为k,在y轴上的截距为b,则直线的方程设为 .
⑶若直线经过两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）.则方程设为（x2-x1）（y-y1）=（y2-y1）（x-x1）
当x1≠x2,y1≠y2时,这条直线的方程是 ；
当x1=x2,y1≠y2时,这条直线的方程是 ；
当x1≠x2,y1=y2时,这条直线的方程是 .
⑷若截距式：直线在x轴上的截距为a（a≠0）,在y轴上的截距为b b≠0 ,则直线的方程是 .
⑸直线方程的一般方程为Ax+By+C=0 （A、B不同时为0）,当B≠0时,方程变为 ,斜率为 ,在y轴上的截距为 ；当B=0时,方程变为 .
4、在两坐标轴上截距相等的直线方程可设为 或 .
5、两直线的位置关系
斜截式 一般式
直线方程
k1与k2、b1与b2的关系 比例式 乘积式
与 平行
与 重合
与 相交
与 垂直
7、已知两点P1（x1,y1）、P2（x2,y2）,则 ＝__________________＝_______________；
8、已知直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2,l1到l2的角为 ,l2到l1的角为 ,l1与l2的夹角为 ,
若1+k1k2=0,则 = = = ;
若1+k1k2≠0, 则tan = ,tan = , tan = .
9、点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d= .
10、 两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离d= .
11、曲线C：f x,y =0.关于x轴的对称曲线C1的方程为 ,关于y轴的对称曲线C2的方程为 ,
关于原点的对称曲线C3的方程为 ,关于直线x-y=0的对称曲线C4的方程为 ,关于直线 x+y=0的对称曲线C5的方程为 ,关于直线x-y+C=0的对称曲线C6的方程为 ,关于直线x+y+C=0的对称曲线C7的方程为 .
12、关于点对称的两条直线的位置关系是 .
13、与两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离相等的直线方程是 .
14、与直线Ax+By+C=0平行的直线可设为__________；与直线Ax+By+C=0垂直的直线可设为__________.
15、二元一次不等式表示的平面区域的判断方法
特殊点代入法：当直线f（x,y）=Ax+By+C=0不过原点时,常用点（0,0）代入
若f(0,0)＞0,则原点所在的平面区域即是Ax+By+C＞0所表示的平面区域
若f(0,0)＜0,则原点所在的平面区域即是Ax+By+C＜0所表示的平面区域
公式法：
若A＞0,B＞0,则Ax+By+C＞0所表示的平面区域在直线Ax+By+C＝0的_____方
若A＞0,B＜0,则Ax+By+C＞0所表示的平面区域在直线Ax+By+C＝0的_____方
若A＜0,B＞0,则Ax+By+C＞0所表示的平面区域在直线Ax+By+C＝0的_____方
若A＜0,B＜0,则Ax+By+C＞0所表示的平面区域在直线Ax+By+C＝0的_____方
不等式Ax+By+C＜0所表示的平面区域与Ax+By+C＞0相反
15、圆的方程
⑴圆的标准方程是__________________,其中圆心是__________,半径是__________.
⑵二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0
①当____________时,方程表示以_____________为圆心,以__________为半径的圆；
②当____________时,方程表示一个点,此点的坐标是当________________ ；
③当____________时,方程不表示任何图形.
⑶圆的参数方程是__________________,其中圆心是__________,半径是__________.
16、过圆x2+y2=r2上一点（x0,y0）的切线方程是x0x+ y0y=r2
过圆(x－a)2+(y－b)2=r2上一点（x0,y0）的切线方程是(x0－a) (x－a)+ (y0－b)(y－b)=r2
17、直线和圆的几种位置关系
记圆心到直线的距离为d,圆的半径是r, 则
（1）相离 __________；（2）相切 __________；（3）相交 __________；
18、圆与圆的几种位置关系
记两圆的圆心距为d,两圆的半径分别为R、r（R≥r）,则
（1）相离 __________；（2）相外切 __________；（3）相交 __________；
（4）相内切 __________；（5）内含 __________.
19、.两圆相交弦所在直线方程的求法：
圆C1的方程为：x2+y2+D1x+E1y+C1=0.
圆C2的方程为：x2+y2+D2x+E2y+C2=0.
把两式相减得相交弦所在直线方程为：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0
第八章圆锥曲线
一、椭圆
1、椭圆定义：一个动点P,两定点F1,F2,且 =2 （ 为常数）
⑴若2 ＞ ,则动点P的轨迹是椭圆
⑵若2 = ,则动点P的轨迹是线段F1F2
⑶若2 ＜ ,则动点P无轨迹.
2、 椭圆的方程：
⑴椭圆的标准方程：焦点在x轴上时,方程为 （a＞b＞0）
焦点在y轴上时,方程为 （a＞b＞0）
⑵椭圆的参数方程：焦点在x轴上时,参数方程为 为参数
焦点在y轴上时,参数方程为 为参数
3、 掌握椭圆的性质（范围、对称性、顶点坐标、焦点坐标、长轴长2 、短轴长2 、焦距2c、长半轴 、短半轴 、半焦距 、通经 、相应焦准距 、准线方程、离心率 、焦半径（第二定义）、 2= 2+ 2）
二、双曲线
1、双曲线定义：一个动点P,两定点F1,F2,且 =2 （ 为常数）
⑴若2 ＞ ,则动点P无轨迹
⑵若2 = ,则动点P的轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（在直线F1F2上）
⑶若2 ＜ ,则动点P的轨迹是双曲线.
2、双曲线的标准方程：焦点在x轴上时,方程为 （a＞0,b＞0）
焦点在y轴上时,方程为 （a＞0,b＞0）
3、 掌握双曲线的性质（范围、对称性、顶点坐标、焦点坐标、实轴长2 、虚轴长2 、焦距2c、
实半轴 、虚半轴 、半焦距 、通经 、相应焦准距 、准线方程、渐近线方程、离心率 、焦半径（第二定义）、 2+ 2= 2）
4、①双曲线方程 - =1(a＞0,b＞0)即 - =0(或y=± x) (a＞0,b＞0)就是其渐近线方程;
②渐近线是 - =0(或y=± x) (a＞0,b＞0)的双曲线设为 - =λ(λ≠0),k是待定系数.
5、等轴双曲线表示为 ,离心率为 ,渐近线为 .
三、抛物线
1、 抛物线定义：一个动点P到定点F的距离与P到定直线 的距离的比为 .
若0＜ ＜1,则动点P的轨迹是椭圆; 若 =1, ,则动点P的轨迹是抛物线;
若 ＞1, ,则动点P的轨迹是双曲线
2、 抛物线的标准方程：焦点在x轴上时,方程可设为y=2px2,焦点为( ,0),准线方程是x=
焦点在y轴上时,方程可设为x=2py2,焦点为(0, ),准线方程是y=
3、抛物线的性质（范围、对称性、顶点坐标、通经为2p、焦准距p、离心率1）
3、 关于抛物线y2=2px（p＞0）焦点F弦的端点为A（x1,y1）、B（x2,y2）,性质:⑴ = x1+ x2+ p,
x 1x2= ,⑶y1y2= ,⑷ ,⑸若AB与对称轴的夹角为 ,则 = .
四、圆锥曲线的性质：
1、P是椭圆 （ ＞ b＞0）上的一点,F1、F2是两焦点,若∠F1PF2= （0＜ ＜ ）,
求证△F1PF2的面积为 tan .
2、P是双曲线 （a＞0,b＞0）上的一点,F1、F2是两焦点,若∠F1PF2= （0＜ ＜ ）,
求证△F1PF2的面积为 cot .
3、弦长公式(直线和曲线相交时,其被曲线所截的线段叫做弦) 设M(x,y),N(x,y),则弦长
= = = (k为已知直线斜率)
第九章 立体几何
一、证明（线线、线面、面面）平行和垂直
1、平行的证明：
(1)线线平行的证明
①若 ‖ , ‖ .则 ‖ ; ②若 ‖ , , = .则 ‖
③若 ‖ , , .则 ‖ ; ④ ‖
(2)线面平行的证明
① ‖ ② ‖ ; ③ ‖
(3)面面平行的证明
① ‖ ② ‖
2、垂直的证明
(1)线线垂直的证明
①若 ‖ , 则 ； ②
③三垂线定理或三垂线定理的逆定理
；
④向量证明：
(2)线面垂直的证明
① ； ② ；
③ ； ④ .
(3)面面垂直的证明
①二面角 是直二面角 ； ② ；
③
二、所成的角
1、 直线与直线所成的角的范围是
⑴若直线与直线平行,则所成角为00；⑵若直线与直线相交,则所成角为 ；
⑶两条异面直线所成角θ的范围是 (0°,90°].两条异面直线所成的角是本单元的重点．求两条异面直线所成的角的基本方法是通过平移将其转化为两条相交直线(即作出平面角)．主要有四种方法：
① 直接平移法(利用图中已有的平行线)；
② 中位线平移法；
③ 补形平移法(延长某线段、延展某个面或补一个与已知几何体相同的几何体,以便找出平行线)．
④ 向量法：设 , 分别是异面直线a、b上的两个非零向量,则cosq=|cos< , >|= ．
2、直线和平面所成的角的范围是〔00,900〕
⑴若直线和平面平行或在平面内,则直线和平面所成的角是0°；
⑵若直线和平面垂直,那么就说直线和平面所成的角是900；
⑶斜线 和平面 所成的角是平面 的斜线 和它在这个平面内的射影的夹角.范围是（00,900）
方法：①关键是作垂线,找射影.构造一个直角三角形
②向量求法:求 的法向量 和 , |cos< , >|= =k(0