作业帮什么是黎曼问题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 16:45:58
什么是黎曼问题
什么是黎曼问题
什么是黎曼问题
黎曼函数是一个特殊函数,由德国数学家黎曼发现提出,在高等数学中被广泛应用,在很多情况下可以作为反例来验证某些函数方面的待证命题.此函数在微积分中有着重要应用.
编辑本段定义
R(x)=0,如果x=0,1或(0,1)内的无理数； R(x)=1/q,如果x=p/q（p/q为既约真分数）,即x为(0,1)内的有理数.
编辑本段性质
定理：黎曼函数在区间(0,1)内的极限处处为0.证明：对任意x0∈(0,1),任给正数ε,考虑除x0以外所有黎曼函数的函数值大于等于ε的点,因为黎曼函数的正数值都是1/q的形式（q∈N+）,且对每个q,函数值等于1/q的点都是有限的,所以除x0以外所有函数值大于等于ε的点也是有限的.设这些点,连同0、1,与x0的最小距离为δ,则x0的半径为δ的去心邻域中所有点函数值均在[0,ε)中,从而黎曼函数在x->x0时的极限为0.推论：黎曼函数在(0,1)内的无理点处处连续,有理点处处不连续.推论：黎曼函数在区间[0,1]上是黎曼可积的.（实际上,黎曼函数在[0,1]上的积分为0.） 证明：函数可积性的勒贝格判据指出,一个有界函数是黎曼可积的,当且仅当它的所有不连续点组成的集合测度为0.黎曼函数的不连续点集合即为有理数集,是可数的,故其测度为0,所以由勒贝格判据,它是黎曼可积的.
编辑本段图像
函数图像
根据定义可知,黎曼函数的函数图象应该是一系列松散的点,而非连续曲线,这是因为它一方面处处极限为0,另一方面在任意的小区间中,都包含着无数个值不为0的点.通常来说,黎曼函数的图像是由它在函数值最大的有限个有理点的值组成的散点图来逼近的.从黎曼函数的图像中可以看出,函数值比较大的点是很稀疏的,随着函数值的减小,点在横向和纵向上都变得越来越密集.根据图像的特点,黎曼函数有时也被称为爆米花函数、雨滴函数.
编辑本段变体
R(x)=0,如果x为任意无理数； R(x)=1/q,如果x=p/q（p∈Z,q∈Z+,(p,q)=1）,即x为任意有理数.这样定义的黎曼函数R上的所有无理点处处连续,有理点处处不连续.