作业帮有关积分的证明题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 20:24:30
有关积分的证明题
有关积分的证明题
有关积分的证明题
由第二个式子,有 1/k = \int |t^{k-1}| dt
\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}/k （代入上式）
= \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} \int_{-1}^{0} |t^{k-1}| dt （交换积分和求和符号）
= \int_{-1}^{0} \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} |t^{k-1}| dt (对k分奇偶讨论)
= \int_{-1}^{0} \sum_{k=1}^{n} t^{k-1} dt （使用第一个式子）
= \int_{-1}^{0} (1-t^n)/(1-t) dt
= \int_{-1}^{0} 1/(1-t) dt - \int_{-1}^{0} t^n/(1-t) dt
= \int_{1}^{2} 1/u du - (-1)^n/(n+1)
= ln2-ln1-(-1)^n/(n+1)
= ln2 - (-1)^n/(n+1)
令n趋向于无穷,右边等于 ln2