泰勒公式求解释

泰勒公式求解释
泰勒公式求解释

泰勒公式求解释
在数学中,泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.如果函数足够光滑的话,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值.泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差.数学中,泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.如果函数足够光滑的话,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值.泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差.泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒.他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式,尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例.带Peano余项的Taylor公式（
泰勒公式
Maclaurin公式）：可以反复利用L'Hospital法则来推导,
f(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+…+f^(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)
泰勒中值定理（带拉格郎日余项的泰勒公式）：若函数f(x）在含有x的开区间（a,b）有直到n+1阶的导数,则当函数在此区间内时,可以展开为一个关于（x-x.）多项式和一个余项的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn(x)
其中Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1）!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间,该余项称为拉格朗日型的余项.
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数,不是f(n)与x.的相乘.）
使用Taylor公式的条件是：f(x)n阶可导.其中o((x-x0)^n)表示比无穷小(x-x0)^n更高阶的无穷小.
Taylor公式最典型的应用就是求任意函数的近似值.Taylor公式还可以求等价无穷小,证明不等式,求极限等
我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx,其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0,所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：
P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n
来近似地表示函数f(x）且要写出其误差f(x)-P(x）的具体表达式.设函数P(x）满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.）,……,P(n)(x.)=f(n)(x.）,于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An.显然,P(x.)=A0,所以A0=f(x.）；P'(x.)=A1,A1=f'(x.）；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!.至此,多项的各项系数都已求出,得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+[f''(x.)/2!](x-x.)^2+……+[f(n)(x.)/n!](x-x.)^n.
接下来就要求误差的具体表达式了.设Rn(x)=f(x)-P(x）,于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0.所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0.根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1）=（Rn(x)-Rn(x.））/（（x-x.)^(n+1）-0）=Rn'（ξ1）/(n+1）（ξ1-x.)^n（注：（x.-x.)^(n+1）=0）,这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得（Rn'（ξ1）-Rn'(x.））/（（n+1）（ξ1-x.)^n-0）=Rn''（ξ2）/n(n+1）（ξ2-x.)^(n-1）这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1）=Rn(n+1）（ξ）/(n+1）!,这里ξ在x.和x之间.但Rn(n+1）（x)=f(n+1）（x)-P(n+1）（x）,由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数,故P(n+1）（x)=0,于是得Rn(n+1）（x)=f(n+1）（x）.综上可得,余项Rn(x)=f(n+1）（ξ）/(n+1）!?(x-x.)^(n+1）.一般来说展开函数时都是为了计算的需要,故x往往要取一个定值,此时也可把Rn(x）写为Rn.
我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx,其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0,所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：
P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n
来近似地表示函数f(x）且要写出其误差f(x)-P(x）的具体表达式.设函数P(x）满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.）,……,P(n)(x.)=f(n)(x.）,于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An.显然,P(x.)=A0,所以A0=f(x.）；P'(x.)=A1,A1=f'(x.）；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!.至此,多项的各项系数都已求出,得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+[f''(x.)/2!](x-x.)^2+……+[f(n)(x.)/n!](x-x.)^n.
接下来就要求误差的具体表达式了.设Rn(x)=f(x)-P(x）,于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0.所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0.根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1）=（Rn(x)-Rn(x.））/（（x-x.)^(n+1）-0）=Rn'（ξ1）/(n+1）（ξ1-x.)^n（注：（x.-x.)^(n+1）=0）,这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得（Rn'（ξ1）-Rn'(x.））/（（n+1）（ξ1-x.)^n-0）=Rn''（ξ2）/n(n+1）（ξ2-x.)^(n-1）这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1）=Rn(n+1）（ξ）/(n+1）!,这里ξ在x.和x之间.但Rn(n+1）（x)=f(n+1）（x)-P(n+1）（x）,由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数,故P(n+1）（x)=0,于是得Rn(n+1）（x)=f(n+1）（x）.综上可得,余项Rn(x)=f(n+1）（ξ）/(n+1）!?(x-x.)^(n+1）.一般来说展开函数时都是为了计算的需要,故x往往要取一个定值,此时也可把Rn(x）写为Rn.
我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx,其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0,所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：
P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n
来近似地表示函数f(x）且要写出其误差f(x)-P(x）的具体表达式.设函数P(x）满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.）,……,P(n)(x.)=f(n)(x.）,于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An.显然,P(x.)=A0,所以A0=f(x.）；P'(x.)=A1,A1=f'(x.）；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!.至此,多项的各项系数都已求出,得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+[f''(x.)/2!](x-x.)^2+……+[f(n)(x.)/n!](x-x.)^n.
接下来就要求误差的具体表达式了.设Rn(x)=f(x)-P(x）,于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0.所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0.根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1）=（Rn(x)-Rn(x.））/（（x-x.)^(n+1）-0）=Rn'（ξ1）/(n+1）（ξ1-x.)^n（注：（x.-x.)^(n+1）=0）,这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得（Rn'（ξ1）-Rn'(x.））/（（n+1）（ξ1-x.)^n-0）=Rn''（ξ2）/n(n+1）（ξ2-x.)^(n-1）这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1）=Rn(n+1）（ξ）/(n+1）!,这里ξ在x.和x之间.但Rn(n+1）（x)=f(n+1）（x)-P(n+1）（x）,由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数,故P(n+1）（x)=0,于是得Rn(n+1）（x)=f(n+1）（x）.综上可得,余项Rn(x)=f(n+1）（ξ）/(n+1）!?(x-x.)^(n+1）.一般来说展开函数时都是为了计算的需要,故x往往要取一个定值,此时也可把Rn(x）写为Rn.