作业帮为什么圆的周长的计算是极限问题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 03:27:16
为什么圆的周长的计算是极限问题
为什么圆的周长的计算是极限问题
为什么圆的周长的计算是极限问题
我们知道,圆的周长是-"!.,其中.是圆的直径,所以,要计算圆的周长,关键是!"?中国古代数学家刘徽在《九章算术》中,创立了“割圆术”来计算!,使用了极限思想.一个直径为.的圆.作内接正六边形,然后平分每个边所对的弧,作内接正十二边形,再平分,得到二十四边形、四十八边形等等.让第/次分割后的正多边形的周长是-.我们知道-是可以计算
你把他看成计算正N边形的面积，N取向于无穷
用割圆术，就像最大的数是什么，无穷无尽
其实什么问题都可以弄成极限问题 圆的周长也不例外！
对于半径为R的扇形，其圆心角为a，所对的弦长，由三角函数可得，2Rsin(a/2)，内接多边形周长为2π/aX2Rsin(a/2)，圆一周所对圆心角是2π，当然可以换个符号表示，不另讨论
相应的，外切多边形的算法类似，周长为2π/aX2Rtan(a/2)
当a接近于无穷小时，内接多边形周长为lim(...
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其实什么问题都可以弄成极限问题 圆的周长也不例外！
对于半径为R的扇形，其圆心角为a，所对的弦长，由三角函数可得，2Rsin(a/2)，内接多边形周长为2π/aX2Rsin(a/2)，圆一周所对圆心角是2π，当然可以换个符号表示，不另讨论
相应的，外切多边形的算法类似，周长为2π/aX2Rtan(a/2)
当a接近于无穷小时，内接多边形周长为lim(a→0+)(2π/aX2Rsin(a/2))，外切多边形周长为
lim(a→0+)(2π/aX2Rtan(a/2))，对于极限lim(a→0+)(sina/a)，lim(a→0+)(tana/a)，a必须用弧度计算，如果a是角度，需要转化为弧度，这两个极限都是1
圆周长在这两个极限之间，大于内接圆周长，小于外切圆周长，而极限相等，由夹逼定理 2πRXlim(a→0+)(sin(a/2)/(a/2))=2πRXlim(a→0+)(tan(a/2)/(a/2))=2πR
所以圆周长等于2πR
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