证明方程x=sinx+2至少有一个小于3的正根要详细步骤!

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 20:58:49

证明方程x=sinx+2至少有一个小于3的正根要详细步骤!
证明方程x=sinx+2至少有一个小于3的正根
要详细步骤!

你可以画出两个函数y=x-2和y=sinX的图像就可以知道了。

构造函数
f(x)=x-sinx-2
∴ f(0)=0-sin0-2=-2<0
f(3)=3-sin3-1=1-sin3>0
∴ f(0)*f(3)<0
又f(x)是连续函数
∴ 由零点存在定理，f(x)在（0,3）上有一个零点
即方程x=sinx+2在（0,3）上有解
即方程x=sinx+2至少有一个小于3的正根那...

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构造函数
f(x)=x-sinx-2
∴ f(0)=0-sin0-2=-2<0
f(3)=3-sin3-1=1-sin3>0
∴ f(0)*f(3)<0
又f(x)是连续函数
∴ 由零点存在定理，f(x)在（0,3）上有一个零点
即方程x=sinx+2在（0,3）上有解
即方程x=sinx+2至少有一个小于3的正根

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证明：
设f(x)=x-sinx-2，则
f(0)=-2,f(3)=3-sin3-2=1-sin3

因为sin3<1 ，所以f(3)>0
因为f(0)=-2<0,f(3)=1-sin3>0,所以根据零点定理：
在[0,3]之间至少有一点x',使得f(x')=0
也就是x=sinx+2至少有一个小于3的正根。

设f(x)=x-sinx-2，则f(x)在(-∞，+∞)内连续，且f(0)=-2<0，f(3)=1-sin3>0，所以，由介值定理知，在区间(0，3)内，函数f(x)至少有一个零点，这个零点就是方程x=sinx+2的根。

如图所示，谢谢采纳

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