作业帮已知正四棱锥S-ABCD的三视图,若主视图是边长为8的等边三角形画出正四棱锥S-ABCD的直观图,并求出它的体积侧棱与底面所成角的正切值设E为BC的中点,求斜高SE与直线AC所成角的正弦值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 11:47:14
已知正四棱锥S-ABCD的三视图,若主视图是边长为8的等边三角形画出正四棱锥S-ABCD的直观图,并求出它的体积侧棱与底面所成角的正切值设E为BC的中点,求斜高SE与直线AC所成角的正弦值
已知正四棱锥S-ABCD的三视图,若主视图是边长为8的等边三角形
画出正四棱锥S-ABCD的直观图,并求出它的体积
侧棱与底面所成角的正切值
设E为BC的中点,求斜高SE与直线AC所成角的正弦值
已知正四棱锥S-ABCD的三视图,若主视图是边长为8的等边三角形画出正四棱锥S-ABCD的直观图,并求出它的体积侧棱与底面所成角的正切值设E为BC的中点,求斜高SE与直线AC所成角的正弦值
主视图看见的正三角形由两条侧棱和一条底面上的棱组成,所以侧棱和底面上的棱都为8
又因为正四棱锥底面是正方形,所有侧棱相等,所以所有棱都长为8
主视图见下,所有的棱都为8
^2是平方
1) 过S作SO⊥平面ABCD与O,由于S-ABCD是正四棱锥,O是正方形ABCD的中心
则O也是AC中点,OA=AC/2
∠ABC=90°,AC=√(AB^2+BC^2)=√(8^2+8^2)=8√2,所以OA=AC/2=8√2/2=4√2
又由SO⊥平面ABCD得SO⊥AO,SO=√(AS^2-AO^2)=√(8^2-(4√2)^2)=4√2
所以V四棱锥S-ABCD=SO*S正方形ABCD/3=SO*AB^2/3=4√2*8^2/3=256√2/3
2) 即求SA与平面ABCD的所成角的正切值
由于已作SO⊥平面ABCD,所以SA在平面ABCD上的投影为SO
则SA与平面ABCD的所成角为∠SAO,且tan∠SAO即为所求
已证SO⊥AO,所以在Rt△AOS中,tan∠SAO=AO/SO=4√2/4√2=1
即侧棱与底面所成角的正切值为1
3) 取AB中点F,联结EF
由于E、F分别是BC、AB上的中点,所以EF=AC/2=8√2/2=4√2
而且EF∥AC,则SE与AC的所成角即SE于EF的所成角,为∠SEF,sin∠SEF即为所求
BE=BC/2=8/2=4,由于SE是侧高,有SE⊥BE
则SE=√(BS^2-BE^2)=√(8^2-4^2)=4√3
由于在正△SAB中,F是AB中点,有SF⊥AB于F
则SF也是侧高,同理得SF=SE=4√3
过SH⊥EF于H,则∠SHE=90°
由于SE=SF,所以H是EF中点,EH=EF/2=4√2/2=2√2
在Rt△EHS中,∠SHE=90°,所以SH=√(SE^2-EH^2)=√((4√3)^2-(2√2)^2)=2√10
则sin∠SEF=SH/SE=2√10/(4√3)=√30/6