作业帮已知圆c经过三点o(0,0)a(1,3)b(4,0),求圆c的方程,求过点p(3,6)且被圆c截得弦长为4的直线方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 06:12:16
已知圆c经过三点o(0,0)a(1,3)b(4,0),求圆c的方程,求过点p(3,6)且被圆c截得弦长为4的直线方程
已知圆c经过三点o(0,0)a(1,3)b(4,0),求圆c的方程,求过点p(3,6)且被圆c截得弦长为4的直线方程
已知圆c经过三点o(0,0)a(1,3)b(4,0),求圆c的方程,求过点p(3,6)且被圆c截得弦长为4的直线方程
设圆C的方程为：
(x-a)²+(y-b)²=r²,其中,（a,b）是圆心坐标,r是半径,则有：
a²+b²=r².(1)
(1-a)²+(3-b)²=r².(2)
(4-a)²+b²=r².(3)
(1)-(2),得：
a²-(4-a)²=0
(a-4+a)(a+4-a)=0
a=2
带入（1）和（2）,可得：
4+b²=r²
1+(3-b)²=r²
联立：
b=1
则：
r=√5
所以,圆C的方程为：
(x-2)²+(y-1)²=5
根据圆心距：√[(√5)²-(4/2)²]=1可知,圆C的原点到该弦的距离为1：
因此：讨论
①当过点P（3,6）且被圆C截得弦长为4的直线的斜率不存在时,设直线方程为：
x=k,易知：k=3,则：
x=3,
经验证x=3通过该圆的弦是4,符合题意
②当过点P（3,6）且被圆C截得弦长为4的直线的斜率存在时设为k,
直线方程为y-6=k（x-3）．
根据点（2,1）到直线的距离公式,可得：
|5-k| / (1+k²) =1,
解得k=12/5
所求直线方程为：12x-5y-6=0．
故所求直线方程为：x=3或12x-5y-6=0．
设圆C的方程为：（x-a)^2+(y-b)^2=r^2
∵圆C过点（0，0）、（1，3）、（4，0），
∴a^2+b^2=r^2 ①
（1-a)^2+(3-b)^2=r^2 ②
（4-a)^2+b^2=r^2 ③
联立①②③形成方程组并解之得：
a=2,b=1,r=√5
∴圆C的方程为：...
全部展开
设圆C的方程为：（x-a)^2+(y-b)^2=r^2
∵圆C过点（0，0）、（1，3）、（4，0），
∴a^2+b^2=r^2 ①
（1-a)^2+(3-b)^2=r^2 ②
（4-a)^2+b^2=r^2 ③
联立①②③形成方程组并解之得：
a=2,b=1,r=√5
∴圆C的方程为：(x-2)^2+(b-1)^2=5
设直线方程为：y=kx+b
∵直线过点（3，6），
∴6=3k+b
b=6-3k ④
∴y=kx+6-3k ⑤
又∵直线与圆C相交，
∴(x-2)^2+[(kx+6-3k)-1]^2=5
整理得：(k^2+1)x^2+(-4+10k-6k^2)x+9k^2-30k+24=0
∴x(1)+x(2)=(6k^2-10k+4)/(k^2+1) (x(1)、x(2)为上式一元二次方程的两个根）
x(1)x(2)=(9k^2-30k+24)/(k^2+1)
由⑤变形得：x=(y+3k-6)/k
∴[-2+(y+3k-6)/k]^2+(y-1)^2=5
整理得：(k^2+1)y^2+(-2k^2+2k-12)y+(-3k^2-12k+36)=0
∴y(1)+y(2)=(2k^2-2k+12)/(k^2+1)
y(1)y(2)=(-3k^2-12k+36)/(k^2+1)
又∵直线切得圆C的弦长为4.
∴4=√（x2-x1)^2+(y2-y1)^2
=√[(x1+x2)^2-4x1x2+(y1+y2)^2-4y1y2]
=√[(6k^2-10k+4)/(k^2+1)]^2+[(2k^2-2k+12)/(k^2+1)]^2-4(9k^2-30k+24)/(k^2+1)-4(-3k^2-12k+36)/(k^2+1)
整理后求出k的值并代入④，计算出b；（你自己算一下）
就得出直线方程了（直线方程最多有两条）
收起