已知:a,b为正实数,且a+b=1,求证:[1+1/(a^2)][1+1/(b^2)]大于等于25快

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/01 05:06:29
已知:a,b为正实数,且a+b=1,求证:[1+1/(a^2)][1+1/(b^2)]大于等于25快

已知:a,b为正实数,且a+b=1,求证:[1+1/(a^2)][1+1/(b^2)]大于等于25快
已知:a,b为正实数,且a+b=1,求证:[1+1/(a^2)][1+1/(b^2)]大于等于25

已知:a,b为正实数,且a+b=1,求证:[1+1/(a^2)][1+1/(b^2)]大于等于25快
[1+1/(a^2)][1+1/(b^2)]
=[1+a^2][1+b^2]/(ab)^2
=1+(a^2+b^2+1)/(ab)^2
=1+((a+b)^2+1-2ab)/(ab)^2
=1+2*(1-ab)/(ab)^2
=1+2*(1/(ab)^2-1/ab)
=1+2[(1/ab-1/2)^2-1/4]
而a+b=1>=2sqrt(ab),所以ab<=1/4
1/ab>=4
所以原式>=1+2[(4-1/2)^2-1/4]=25