设a、b、c、d是正实数,且满足abcd=1,求证:1/(a+1)^2+1/(b+1)^2+1/(c+1)^2+1/(d+1)^2≥1

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/30 02:35:03
设a、b、c、d是正实数,且满足abcd=1,求证:1/(a+1)^2+1/(b+1)^2+1/(c+1)^2+1/(d+1)^2≥1

设a、b、c、d是正实数,且满足abcd=1,求证:1/(a+1)^2+1/(b+1)^2+1/(c+1)^2+1/(d+1)^2≥1
设a、b、c、d是正实数,且满足abcd=1,
求证:1/(a+1)^2+1/(b+1)^2+1/(c+1)^2+1/(d+1)^2≥1

设a、b、c、d是正实数,且满足abcd=1,求证:1/(a+1)^2+1/(b+1)^2+1/(c+1)^2+1/(d+1)^2≥1
先证明对x,y>0,有1/(1+x)^2+1/(1+y)^2>=1/(1+xy)
证:上式等价于(1+xy)(1+y)^2+(1+xy)(1+x)^2>=(1+x)^2(1+y)^2
1+xy^3+x^3y>=2xy+x^2y^2
1+xy(x^2+y^2)>=xy(2+xy)
1+xy(x^2+y^2-2-xy)>=0
1+xy[(x-y)^2-2+xy]>=0
xy(x-y)^2+(1-xy)^2>=0
显然成立.
于是我们证明了1/(1+x)^2+1/(1+y)^2>=1/(1+xy)
对于原不等式用上述不等式有:
1/(1+a)^2+1/(1+b)^2+1/(1+c)^2+1/(1+d)^2>=1/(1+ab)+1/(1+cd)
利用abcd=1,有1/(1+ab)=cd/(1+cd)
所以1/(1+ab)+1/(1+cd)=cd/(1+cd)+1/(1+cd)=1
也即1/(1+a)^2+1/(1+b)^2+1/(1+c)^2+1/(1+d)^2>=1
得证.

试试柯西不等式加均值不等式呢。

设a、b、c、d是正实数,且满足abcd=1,求证:1/(a+1)^2+1/(b+1)^2+1/(c+1)^2+1/(d+1)^2≥1 已知a,b,c,d是正实数,且满足等式a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd,探求a,b,c,d的关系. 设a,b,c,d是正实数,证明:a+b+c+d/abcd≤1/a^3+1/b^3+1/c^3+1/d^3 设a,b,c,d是实数,且a^2+b^2=1,c^2+d^2=1,则abcd的最小值等于多少? 设a,b,c是实数,且a^2+b^2=1,c^2+d^2=1,则abcd的最小值等于多少? 1.正实数x,y,z满足xy+zy=10,则x^2+5y^2+4z^2的最小值2.设正整数a,b,c,d,e,f,且满足a+b+c+d+e+f=52,则a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+f^2的最大值二楼的,抱歉,第一题的确是正实数x,y,z没错,第二题可能是我记错了,就把你最 若abcd均为正实数,且a>b,那么b/a .a/b .(b+c)/(a+c).(a+d)/(b+d)比大小 已知a,b,c,d都是正实数,且a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd.求证a=b=c=d 设a、b、c都是正实数,且a、b满足1/a+9/b=1,则使a+b>=c恒成立的c的范围是? 已知abcd都是正实数,且a/b>c/d,则M= b/a+b - d/c+d与零的大小关系是 A.M>0 B.M≥0 C.M 已知abcd都是正实数,且a/b>c/d,则M= b/a+b - d/c+d与零的大小关系是 A.M>0 B.M≥0 C.M 设实数a,b,c,d满足 a+d=b+c ,|a-d| 设a,b,c是正实数,且(a+1)(b+1)(c+1)=8,证明abc≤1 设正实数a,b,c,满足a≤b≤c,且a^(1/2)+b^(1/2)+c^(1/2)=9证明:abc+1>3a对不起,题抄错了应该是:设正实数a,满足a≤b≤c,且a^2+b^2+c^2=9证明:abc+1>3a 设实数a,b,c,d,e满足(a+c)(a+ d)=(b+c)(b+d)=e≠O,且a≠b,那么(a+c)(b+c)-(a+d)(b+d)=( ). 设实数a,b,c,d,e满足(a+c)(a+ d)=(b+c)(b+d)=e≠O,且a≠b,那么(a+c)(b+c)-(a+d)(b+d)=( ). 如果abcd为实数,且c>d,则a>b是a-c>b-d的什么条件? 设n为正整数,a,b为正实数,且满足a+b=2,则1/(1+a^n)+1/(1+b^n)的最小值是