设A B都是n阶对称矩阵,证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 19:32:59
设A B都是n阶对称矩阵,证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.

设A B都是n阶对称矩阵,证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.
设A B都是n阶对称矩阵,证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.

设A B都是n阶对称矩阵,证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA.
证明:必要性 由于A,B都是n阶正定矩阵,根据正定矩阵的定义,A,B都是n阶对称矩阵,即A'=A,B'=B(这里A'表示A的转置矩阵).若AB正定,则 AB也是对称矩阵,从而AB=(AB)'=B'A'=BA.即证得了AB=BA.充分性 若AB=BA,则(AB)'=B'A'=BA=AB,这说明AB实对称.其次,由于A,B都是n阶正定矩阵,从而A,B都与单位矩阵合同,于是存在两个可逆实矩阵P,Q,使得A=P'P,B=Q'Q,进而AB=P'PQ'Q.注意到P'PQ'Q=Q^(-1)(QP'PQ')Q,这说明P'PQ'Q与)QP'PQ'相似,另外,QP'PQ'=(PQ')'(PQ'),根据P,Q都是可逆实矩阵,PQ'也是可逆实矩阵,因此QP'PQ'正定,所以QP'PQ'的特征值都是正实数.由于相似的矩阵具有相同的特征值,故AB=P'PQ'Q的特征值都是正实数.这就证明了AB正定.

设A B都是n阶对称矩阵,证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA. 设A,B都是n阶对称矩阵,证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA 设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵,证明:B的平方为对称矩阵,AB-BA也是对称矩阵 设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵,证明:B的平方为对称矩阵,AB-BA也是对称矩阵 设A和B为n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明B'AB为对称矩阵 设A,B均为n阶对称矩阵,证明:AB+BA也为n阶对称矩阵.如何证? 设A为n阶对称矩阵,B是n阶反对称矩阵,证明AB为反对称矩阵的充分必要条件是AB=BA 设A+B都是n阶对称矩阵,E+AB可逆,证明（E+AB）^-1A也是对称矩阵.（E+AB）的逆矩阵乘A 设矩阵A与P都是n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明P'AP也是 对称矩阵. 设矩阵A和P都是n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明:P^TAP也是对称矩阵 设A,B都是n阶矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA 设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵证明：1)AB-BA为对称矩阵 2）AB+BA为反对称矩阵 设A为N阶对称矩阵,B为N阶可逆矩阵,且B-1=BT,证明B-1AB是对称矩阵 设A为m阶对称矩阵,B为m*n矩阵,证明B的转置乘AB为n阶对称矩阵 矩阵证明 设A, B均为n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵当且仅当A与B可交换 设A,B为n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明B＾TAB也是对称矩阵 设A,B为n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明B＾TAB也是对称矩阵 设A、B为同阶对称矩阵,证明AB+BA是对称矩阵,AB－BA是反称矩阵.