作业帮一道高数证明定积分的问题!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 08:43:34
一道高数证明定积分的问题!
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一道高数证明定积分的问题!
左边实际上就是Cauchy不用等式.楼上已经说了
而右边也就是所谓的Kantorovich不等式：
利用(f(x)-1)(f(x)-3)/f(x)<=0,不等式两边同时对x在【0,1】上积分即可得到欲证不等式 .
∫(f(x)-4+3/f(x))dx<=0
得到∫f(x)dx+3∫1/f(x)dx<=4
左边>=2sqrt(3∫f(x)dx∫1/f(x)dx)
两边平方即可.
答案同楼上
我只会证不等式的左边。由于f（x）在[0，1]上连续，且1≤f（x）≤3，从而1/f（x）在[0，1]上也连续。所以f（x）、1/f（x）在[0，1]上可积，故√f（x）、1/√f（x）在[0，1]上也可积。由施瓦茨不等式可得∫（0～1）f（x）dx*∫（0～1）dx/f（x）≥（∫（0～1）（√f（x）*1/√f（x））dx）²=1...
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我只会证不等式的左边。由于f（x）在[0，1]上连续，且1≤f（x）≤3，从而1/f（x）在[0，1]上也连续。所以f（x）、1/f（x）在[0，1]上可积，故√f（x）、1/√f（x）在[0，1]上也可积。由施瓦茨不等式可得∫（0～1）f（x）dx*∫（0～1）dx/f（x）≥（∫（0～1）（√f（x）*1/√f（x））dx）²=1
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