作业帮一道高数级数的证明题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 04:53:18
一道高数级数的证明题
一道高数级数的证明题
一道高数级数的证明题
用比值判别法的极限形式
和级数1/n^(p+1/2)比较
lim n->无穷 [sin(1/n^(1/2))/n^p]/[1/n^(p+1/2)]
=lim n->无穷 sin(1/n^(1/2))/(1/n^(1/2))
令t=1/n^(1/2)
=lim t->0 sint/t
=1
当p1
级数1/n^(p+1/2)收敛
所以由比值判别法的极限形式,两级数具有同样的收敛性
所以级数sin(1/n^(1/2))/n^p收敛
由于n趋于无穷时sin1/√n和1/√n是等价的，所以级数等价于∑1/n^(p+1/2)，根据p级数的敛散性，可知当p+1/2>1即p>1/2时级数收敛，p+1/2≤1即p≤1/2时级数发散。可以先说等价么，书上好像没这么弄的啊和求极限时用等价无穷小替换后极限的值不变一样，在判断级数的敛散性时，如果级数的通项比较复杂，可以用其等价无穷小替换，替换后的新级数和老级数有相同的敛散性。...
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由于n趋于无穷时sin1/√n和1/√n是等价的，所以级数等价于∑1/n^(p+1/2)，根据p级数的敛散性，可知当p+1/2>1即p>1/2时级数收敛，p+1/2≤1即p≤1/2时级数发散。
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