作业帮若a1,a2,a3线性无关 则如何证明a1+a2,a2+a3,a3+a1也线性无关又如何证明a1-a2,a2-a1,a3线性相关
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 07:29:54
若a1,a2,a3线性无关 则如何证明a1+a2,a2+a3,a3+a1也线性无关又如何证明a1-a2,a2-a1,a3线性相关
若a1,a2,a3线性无关 则如何证明a1+a2,a2+a3,a3+a1也线性无关
又如何证明a1-a2,a2-a1,a3线性相关
若a1,a2,a3线性无关 则如何证明a1+a2,a2+a3,a3+a1也线性无关又如何证明a1-a2,a2-a1,a3线性相关
设 k1(a1+a2) + k2(a2+a3) + k3(a3+a1) = 0
[ 注:由定义,若有不全为0的k1,k2,k3 满足上式,则向量组线性相关,否则线性无关 ]
整理得 (k1+k3)a1 + (k1+k2)a2 + (k2+k3)a3 = 0
由已知 a1,a2,a3线性无关
所以 k1+k3 = 0
k1+k2 = 0
k2+k3 = 0.
[哈,现在就要看上面这个齐次线性方程组是只有零解(线性无关)还是有非零解(线性相关)了]
因为方程组的系数行列式 =
1 0 1
1 1 0
0 1 1
=2
所以方程组只有零解!
即必有 k1=k2=k3 =0
所以 a1+a2,a2+a3,a3+a1的线性无关.
2.可同样讨论a1-a2,a2-a1,a3的线性相关性
但线性相关,一般可以观察出来非零的线性组合
(a1-a2) + (a2-a1) + 0a3 = 0
即找到了不全为的数 1,1,0 使得a1-a2,a2-a1,a3的线性组合等于0
所以 a1-a2,a2-a1,a3 线性相关.
1.设存在k1,k2,k3不全为0，使k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a1)=0即a1,a2,a3线性相关
那么有(k1+k2)a1+(k1+k3)a2+(k2+k3)a3=0，由于k1,k2,k3不全为0，可以推出（k1+k2),(k1+k3),(k2+k3)不全为0（否则k1=k2=k3=0)，那么a1,a2,a3线性相关，与已知矛盾，所以a1+a2,a2+a3,a...
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1.设存在k1,k2,k3不全为0，使k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a1)=0即a1,a2,a3线性相关
那么有(k1+k2)a1+(k1+k3)a2+(k2+k3)a3=0，由于k1,k2,k3不全为0，可以推出（k1+k2),(k1+k3),(k2+k3)不全为0（否则k1=k2=k3=0)，那么a1,a2,a3线性相关，与已知矛盾，所以a1+a2,a2+a3,a3+a1也线性无关
2.存在k1=k2=1（任意实数也可以），k3=0，即存在3个不为0的数，使k1(a1-a2)+k2(a2-a1)+k3*a3=0，所以a1-a2,a2-a1,a3线性相关
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