作业帮考研数学06年第九题 非齐次线性方程组刘老师您好：已知非齐次线性方程组x1 +x2+ x3 +x4 = -14x1 +3x2+ 5x3 -x4 = -1ax1 +x2+ 3x3 +bx4 = 1有三个线性无关解.证明系数矩阵A的秩r(A)=2 ;：求 a b 及通解；参考
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 17:59:47
考研数学06年第九题 非齐次线性方程组刘老师您好：已知非齐次线性方程组x1 +x2+ x3 +x4 = -14x1 +3x2+ 5x3 -x4 = -1ax1 +x2+ 3x3 +bx4 = 1有三个线性无关解.证明系数矩阵A的秩r(A)=2 ;：求 a b 及通解；参考
考研数学06年第九题 非齐次线性方程组
刘老师您好：
已知非齐次线性方程组
x1 +x2+ x3 +x4 = -1
4x1 +3x2+ 5x3 -x4 = -1
ax1 +x2+ 3x3 +bx4 = 1
有三个线性无关解.
证明系数矩阵A的秩r(A)=2 ;
：求 a b 及通解；
参考书对问题一的解答如下：,所以
设α1,α2,α3 为三个线性无关解,那么α1-α2,α1-α3 是对应其次方程Ax=0的线性无关解,所以n-r(A)>=2,所以r(A)=2,
因此r(A)=2
我想问的问题：
1-对于题中"有三个线性无关解"的“有”并不是“恰有”,我们有什么应该注意的?
如何得到r(A)=2的.
考研数学06年第九题 非齐次线性方程组刘老师您好：已知非齐次线性方程组x1 +x2+ x3 +x4 = -14x1 +3x2+ 5x3 -x4 = -1ax1 +x2+ 3x3 +bx4 = 1有三个线性无关解.证明系数矩阵A的秩r(A)=2 ;：求 a b 及通解；参考
我来帮你回答吧.
1.“有”表明该非齐次线性方程组至少存在3个线性无关的解,就是线性无关的解的个数大于等于三个；“恰有”表明该非齐次线性方程组线性无关的解有且只有3个.
2.由于α1,α2,α3是非齐次线性方程组的线性无关的三个解,易验证α1-α2,α1-α3均为对应齐次线性方程组的线行无关的两个解,因为A（α1-α2）=Aα1-Aα2=β-β=0,α1-α3同理可得.之所以线性无关,因为不存在不全为零的常数k1,k2使得k1（α1-α2）+k2(α1-α3)=0(否则α1,α2,α3就线性相关了）,那么根据齐次线性方程组线行无关解的个数与系数矩阵秩的关系,有
线行无关解的个数=n-r(A)=4-r(A),
因为题目中是“有”字,即存在的意思,那么非齐次线性方程组Ax=β可能有多于3个的线性无关的解,那么对于对应的齐次线性方程组Ax=0就有可能可以仿照题中的方法构造出多于2个的线性无关的解.意即4-r(A)≥2.得r(A)≤2.
矩阵A中有二阶子式不为零,你可以参照课本上关于矩阵秩的定义,即r(A)就是A的非零子式的最高阶数,但注意这里又是“有”,即存在二阶子式不为零,那么有可能存在二阶以上的子式不为零,那么r(A)=A的非零子式的最高阶数≥2.
希望我的回答可以对你有帮助.