为什么几何平均数小于算术平均数?可不可以结合图像说明?

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 10:47:51

为什么几何平均数小于算术平均数?可不可以结合图像说明?
为什么几何平均数小于算术平均数?可不可以结合图像说明?

为什么几何平均数小于算术平均数?可不可以结合图像说明?
设a,b为两个正实数,以a+b为直径作一个半圆O,如图,AD=a,BD=b,
过D点作CD⊥AB交半圆与点C,则⊿ABC为Rt⊿,所以 CD²=AD•BD=ab
于是,线段CD=√(ab) 就是a,b的几何平均数.
而半径OC=(a+b)/2,是a,b的算术平均数.
显然　　　　CD<OC
当且仅当a=b时,O与D重合,此时,CD=OC
从而,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

是几何平均数不大于算术平均数。证明：a^3+b^3+c^3-3abc =(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab) =(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab+a

如图的长方形4个，长边为a，短边为b

几何平均数为根号ab，算术平均数，(a+b)/2 （均为大于0的数，平方、同乘不影响其比较大小）

两个数同时平方，后在同时乘以4，得 4ab，，，（a+b）^2

4ab就是四个长方形的面积，，，，（a+b）^2就是大正方形的面积

所以几何平均数小于算术平均数。。。

这是a≠b时才成立的

当a=b时，两个平均数是相等的，你的说法不太正确哦

三楼的验证是比较好的，建议采纳

等于要证明 (a+b)/2 >=√(ab)
两边都平方 (a+b)^2 >=4ab
等于 (a-b)^2 >=0
恒成立

直接用完全归纳法证明啊。
首先，对于2个数成立。（1）
然后，设对 n-1个数成立，（2）
利用（1）把（2）变换为
对 n个数成立，从而得证。

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