作业帮在一个房间里,地板是长方形的,由正方形的小格子拼成,在地板左下角和右上角各有一个老鼠洞.一天晚上,老鼠从其中的一个洞直线跑到另一个洞(也就是对角线).问:老鼠经过了多少个格子?(设
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 14:43:00
在一个房间里,地板是长方形的,由正方形的小格子拼成,在地板左下角和右上角各有一个老鼠洞.一天晚上,老鼠从其中的一个洞直线跑到另一个洞(也就是对角线).问:老鼠经过了多少个格子?(设
在一个房间里,地板是长方形的,由正方形的小格子拼成,在地板左下角和右上角各有一个老鼠洞.一天晚上,老鼠从其中的一个洞直线跑到另一个洞(也就是对角线).问:老鼠经过了多少个格子?(设长为a个格子,宽为b个格子,列出一个公式表达老鼠经过的格子,要能用于所有的长方形)
回1楼:a+b-1我想出来过,在很多长方形都行,不过如果长和宽都是偶数就不行,或者2个数字有约数和倍数的关系
在一个房间里,地板是长方形的,由正方形的小格子拼成,在地板左下角和右上角各有一个老鼠洞.一天晚上,老鼠从其中的一个洞直线跑到另一个洞(也就是对角线).问:老鼠经过了多少个格子?(设
a+b-(a,b),其中(a,b)指的是a和b的最大公约数(greatest common divisor).
(1)假设a和b互素,即(a,b)=1.
可以证明,老鼠在到达终点之前,是不可能越过一个交界点的.这里的交界点指的是横格线和竖格线的交叉点.
这里用反证法,假设在老鼠的途中越过一个交叉点.设此时老鼠走了c横格,d竖格.则根据相似形,c/d=a/b,由于a与b互素,c和d不可能比a或者b小,这就矛盾了.
因此,除去终点,老鼠在途中不经过横竖交叉点.老鼠途中每穿过1横格线,就进入一个新的格子；同理,老鼠途中每穿过1竖格线,就进入一个新的格子.老鼠总共穿过a个横格,b个竖格,再扣除最后一个到达终点时重复计算的横格线和竖格线,总共穿过的格子数目是a+b-1.
(2)假设a和b不互素,设(a,b)是a和b的最大公约数.
考虑c=a/(a,b)和d=b/(a,b)这两个整数,它们是互素的.你可以想象把尺寸为a*b的格子盘的对角线等距截成(a,b)段,每段都正好是尺寸为c*d的格子盘的对角线（画个图你就明白了）.
因此,老鼠相当于在c*d的格子盘里走对角线,然后重复了这个步骤(a,b)遍.由于c和d互素,根据(1)的结论,老鼠每次会穿过c+d-1个格子,重复(a,b)遍后的总数是（这些格子在计数的时候不重复）
(c+d-1)*(a,b)=c*(a,b)+d*(a,b)-(a,b)=a+b-(a,b).