设A,B均为n阶方阵,且B=B*B,A=E+B.求证A可逆,并求A逆是B乘B

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/28 19:57:51

设A,B均为n阶方阵,且B=B*B,A=E+B.求证A可逆,并求A逆是B乘B
设A,B均为n阶方阵,且B=B*B,A=E+B.求证A可逆,并求A逆
是B乘B

设A,B均为n阶方阵,且B=B*B,A=E+B.求证A可逆,并求A逆是B乘B
用B^2表示矩阵B的平方.
因为 B=B^2,A=E+B,
所以 A^2=(E+B)^2=E+2B+B^2=E+2B+B=E+3B (1)
又因为 A=E+B,B=A-E,3B=3A-3E,所以由(1)式：
A^2=E+3B=E+(3A-3E)=3A-2E.移项即得：
2E=3A-A^2=A(3E-A),或写成 E=A[(3E-A)/2] (2)
对(2)式两边取行列式即知 1=detA*det(3E-A)/2,由此可知必有detA不为0,从而矩阵A可逆；同时,由(2)式以及逆矩阵的唯一性即知 A逆=(3E-A)/2.
代回 A=E+B 也可得到 A逆=E-B/2.

是B乘B还是B的伴随乘B?

设a,b均为n阶幂等方阵,且方阵e-a-b可逆,证明ra=rb 设A,B均为n阶方阵,且B=B*B,A=E+B.求证A可逆,并求A逆是B乘B 设A、B为任意n阶方阵,且BA=A+B,则AB= 设A、B均为n阶方阵,A可逆,且AB=0,则A、B=0 B、B不=0且B的秩线性代数设A,B为n阶方阵,B不等于0,且AB=0, 是非题 1:设A,B,C均为n阶方阵,且AB=AC则B=C 2:设A,B均为n阶方阵,则｜A+B｜=｜A｜+｜B｜设A,B均为N阶方阵且|A|=2,|B|=-3.求A^(-1）B*-A*B^(-1）设A是n阶方阵,求证：存在n阶方阵B,使得A=ABA且B=BAB 设A B为N阶方阵,若AB=A+B,证明：A-E可逆,且AB=BA. 设A,B为n 阶方阵,且A=1/2(B+E),证明A^2=A当且仅当B^2=B. 设A,B都是N阶方阵,I为N阶单位矩阵,且B=B^2,A=I+B,证明A可逆证：设A,B为n阶方阵,AB=0,且B≠0,则必有丨A*丨=0 设A,B为n阶方阵,若AB=A+B,证明:A 设A,B为N阶方阵,且A=1/2(B+E),证明A^2=A,当且仅当B^2=E 关于矩阵的数学题1 设A是n阶实对称矩阵,并且A*A=0 证明A=02 设A B C都是n阶方阵,证明如果B=E+AB C=A+CA 则B-C=E3 设A B 均为n阶方阵,且B=E+AB 证明 AB=BA4 设A B 均为n阶方阵,且B的行列式不等于0 （A+E)的逆设A,B为n阶方阵,且r(A)+r(B) 设A,B为n阶方阵,且r(A)+r(B) 设A,B为n阶方阵,且AB＝A+B,试证AB＝BA