作业帮求证一个与无理数有关的稠密性问题概念：[r]表示不超过实数r的最大整数设a为无理数,求证集合 {na-[na] | n是整数} 在[0,1]区间上稠密（即[0,1]内的任意开区间上都有上述集合的元素）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 03:40:25
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求证一个与无理数有关的稠密性问题概念：[r]表示不超过实数r的最大整数设a为无理数,求证集合 {na-[na] | n是整数} 在[0,1]区间上稠密（即[0,1]内的任意开区间上都有上述集合的元素）
求证一个与无理数有关的稠密性问题
概念：
[r]表示不超过实数r的最大整数
设a为无理数,求证集合 {na-[na] | n是整数} 在[0,1]区间上稠密（即[0,1]内的任意开区间上都有上述集合的元素）
求证一个与无理数有关的稠密性问题概念：[r]表示不超过实数r的最大整数设a为无理数,求证集合 {na-[na] | n是整数} 在[0,1]区间上稠密（即[0,1]内的任意开区间上都有上述集合的元素）
记{na}=na-[na].
如果我们能证明S={na-[na],for all nature number n}与区间[0,1/m]的交集非空（m是正整数）,那么S就一定与任意的[(k-1)/m,k/m]交集非空（只要把它乘以若干倍即可）.
进而,如果在上述证明中的m是任意的自然数,那么我们就知道S可以任意小地逼近一个[0,1]之间的数（因为它与该数的差距不会大于1/m）.从而得到我们的结论.
所以,我们只需要证明对于任意m,S与区间[0,1/m]的交集非空即可.
不妨设a>0.a
n>=0且n是整数时，[na]《=na,则na-[na]>=0
n<0且n是整数时，[na]>=(na-1), 则-[na]<=(1-na) 故na-[na]<=1
综上所述na-[na] | n是整数} 在[0，1]区间上稠密
如果我们能证明S={na-[na]，for all nature number n}与区间[0，1/m]的交集非空（m是正整数），那么S就一定与任意的[(k-1)/m，k/m]交集非空（只要把它乘以若干倍即可）。
－－－括号里的最后一句话，貌似有问题。不是乘以若干倍，而是要平移才可以。所以证明有些漏洞。请别的大神来弥补吧。...
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如果我们能证明S={na-[na]，for all nature number n}与区间[0，1/m]的交集非空（m是正整数），那么S就一定与任意的[(k-1)/m，k/m]交集非空（只要把它乘以若干倍即可）。
－－－括号里的最后一句话，貌似有问题。不是乘以若干倍，而是要平移才可以。所以证明有些漏洞。请别的大神来弥补吧。
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