已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．（1）特殊发现：如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；（2）若

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/10 18:31:48

已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．（1）特殊发现：如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；（2）若
已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．
（1）特殊发现：如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P．
①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上,并加以证明；
②拓展运用：如图3,当△AEF面积最小时,过点P任作一直线分别交边DA于点M,交边DC的延长线于点N,试判断是否为定值?若是,请求出该定值；若不是,请说明理由．

已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°,等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F．（1）特殊发现：如图1,若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；（2）若
（1）证明：如图1,分别连接OE、0F,
           ∵四边形ABCD是菱形,
           ∴AC⊥BD,BD平分∠ADC．AO=DC=BC,
           ∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
           ∠ADO=∠ADC=×60°=30°,
           又∵E、F分别为DC、CB中点,
           ∴OE=CD,OF=BC,AO=AD,
           ∴0E=OF=OA,
           ∴点O即为△AEF的外心．
        ①猜想：外心P一定落在直线DB上．
  证明：       如图2,分别连接PE、PA,过点P分别作PI⊥CD于I,PJ⊥AD于J,
               ∴∠PIE=∠PJD=90°,
               ∵∠ADC=60°,
               ∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°,
               ∵点P是等边△AEF的外心,
               ∴∠EPA=120°,PE=PA,
               ∴∠IPJ=∠EPA,
               ∴∠IPE=∠JPA,
               ∴△PIE≌△PJA,
               ∴PI=PJ,
               ∴点P在∠ADC的平分线上,即点P落在直线DB上．
        ②1/DM+1/DN为定值2．
               当AE⊥DC时．△AEF面积最小,
               此时点E、F分别为DC、CB中点．
               连接BD、AC交于点P,由（1）
               可得点P即为△AEF的外心．
               如图3．设MN交BC于点G,
               设DM=x,DN=y（x≠0．y≠O）,则CN=y-1,
               ∵BC∥DA,
               ∴△GBP≌△MDP．
               ∴BG=DM=x．
               ∴CG=1-x
                          ∵BC∥DA,
               ∴△NCG∽△NDM,
               ∴CN/DN=CG/DM,
               ∴(y-1)/y=(1-x)/x,
               ∴x+y=2xy,
               ∴1/x+1/y=2,
               即1/DM+1/DN=2．