f(x)是定义在R上函数,x属于R,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立.证fx是周期函数.若f(3)=2.求f(2010)

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 01:29:40

f(x)是定义在R上函数,x属于R,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立.证fx是周期函数.若f(3)=2.求f(2010)
f(x)是定义在R上函数,x属于R,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立.证fx是周期函数.若f(3)=2.求f(2010)

f(x)是定义在R上函数,x属于R,f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立.证fx是周期函数.若f(3)=2.求f(2010)
f(x+1)=f(x)-f(x-1)
那么f(x)=f(x-1)-f(x-2)
所以f(x+1)=-f(x-2)
所以f(x+1)=-f(x-2)=f(x-5)
f(x+1)=f(x-5)
f(x)是周期函数,T=6
f(2010)=f(335*6)=f(6)
f(6)=-f(3)=-2

f（x+2）=f（x+1）-f（x）
f（x+3）=f（x+2）-f（x+1）
=-f（x）
所以f（x+6）=-f（x+3）=f（x）
f（x）是周期为6的函数
2010=6*335,
故f（2010）=f（0）=-f（3）=-2

f(x)=f(x+1)+f(x-1),f(x+1)=f(x)-f(x-1)
f(x+1）=f(x+1+1)-f(x+1-1)=f(x+2)+f(x)
f(x+2)+f(x)=f(x)-f(x-1),f(x+2)=-f(x-1)=-f(x+2-3)
所以f(x)=-f(x-3)=f(x-6),T=6
f(2010)=f(6)=-f(3)=-2

函数的周期为6,函数是一个奇函数，f（3）=2，则
f（2010）=f(335*6)=f(3)=2

f(x)=f(x+1)+f(x-1)得f(x)-f(x-1)=f(x+1)
那么f(x-1)=f(x-1+1)-f(x-1-1)
所以f(x-1)-f(x)=f(x-2)
所以f(x+1)=-f(x-2)
所以f(x+1)=-f(x-2)
f(x)是周期函数，T=2（2+1）=6
f(2010)=f(335*6)=f(6)
f(6)=-f(3)=-2

f(x+1)=f(x)-f(x-1)
f(x)=f(x-1)-f(x-2)
f(x+1)=-f(x-2)
f(x+1)=-f(x-2)
f(x)=-f(x-3),-f(x)=f(x+3)
即f(x+3)=f(x-3)
推出f(x)=f(x+6)
即f(x)是周期函数，T=6
故f(2010)=f(335*6)=f(6)
f(6)=-f(3)=-2

f(x)=f(x+1)+f(x-1)
x=x+1：f(x+1)=f(x+2)+f(x)
2式化简：0=f（x+2）+f（x-1）
就是0=f（x+3）+f（x）#
即 0=f（x+6）+f（x+3）
那么f（x+3n）=f（x），为周期函数。
#f（3）+f（0）=0
f(2010)=f（0）=-2