如果平面上一个四边形的对角线互相平分,试应用向量证明它是平行四边形

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/29 04:07:00

如果平面上一个四边形的对角线互相平分,试应用向量证明它是平行四边形
如果平面上一个四边形的对角线互相平分,试应用向量证明它是平行四边形

如果平面上一个四边形的对角线互相平分,试应用向量证明它是平行四边形
在四边形ABCD中,设AC,BD的交点为O,向量AB=向量a,向量AD=向量b
因为O是AC中点所以向量AO=(1/2)*向量AC=(1/2)*(向量a+向量BC)
即向量AO=(1/2)*(向量a+向量BC)
因为O是BD中点所以向量BO=(1/2)*向量BD=(1/2)*(-向量a+向量b)
向量OB=(1/2)*(向量b-向量a)
向量a=向量AB=向量a=向量AO+向量OB=(1/2)*(向量a+向量BC+(1/2)*(向量a-向量b)
即向量a =向量a+(1/2)*(向量BC-向量B)
所以向量BC-向量B=向量0 也就是向量BC=向量B=向量AC
所以四边形ABCD是平行四边形.

见图

设平面上一个四边形ABCD的对角线互相平分交于O,以下均为向量运算：
AO=OC,BO=OD
AO+OD=AD,BO+OC=BC,>>>AD=BC
BA+AO=BO,OC+CD=OD,>>>BA=CD
因此四边形ABCD是平行四边形

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