作业帮2008年4月6日全国初中数学竞赛第13题高手进是否存在三角形ABC,使得三边为连续的3个整数,其中一个内角是另一个内角的两倍,若有请写出证明~!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 01:38:11
2008年4月6日全国初中数学竞赛第13题高手进是否存在三角形ABC,使得三边为连续的3个整数,其中一个内角是另一个内角的两倍,若有请写出证明~!
2008年4月6日全国初中数学竞赛第13题高手进
是否存在三角形ABC,使得三边为连续的3个整数,其中一个内角是另一个内角的两倍,若有请写出证明~!
2008年4月6日全国初中数学竞赛第13题高手进是否存在三角形ABC,使得三边为连续的3个整数,其中一个内角是另一个内角的两倍,若有请写出证明~!
没有.
在 三角形ABC中,∠B=2∠C.对应边长分别为 a、b、c .做∠A的平分线,交AD的平行线CD 于D..BD分AC(b)为e、d.可得几组相似三角形
d/c=a/b c/a=e/d=(b-d)/d=b/d -1 d=ab/(a+b)
把 d=ab/(a+b)带入d/c=a/b 得到 b^2=c(a+b) 又因为∠B=2∠C ,所以c小于b
三条边长分别为n-1 、n 、n+1 .而c边不可能为n+1.b边不可能为n-1
分别讨论b=n+1 、n 时.可推出结论不成立.
设三边长分别为：a-1、a、a+1
要分以下三种情况讨论：
(1)当角A是a-1所对的角，2A是a所对的角时
正弦定理知：a/(a-1)=sin2A/sinA=2cosA
余弦定理由：2cosA=[a^2+(a+1)^2-(a-1)^2]/a(a+1)=(a+4)/(a+1)
从而有：a/(a-1)=(a+4)/(a+1)，解得a=2
此...
全部展开
设三边长分别为：a-1、a、a+1
要分以下三种情况讨论：
(1)当角A是a-1所对的角，2A是a所对的角时
正弦定理知：a/(a-1)=sin2A/sinA=2cosA
余弦定理由：2cosA=[a^2+(a+1)^2-(a-1)^2]/a(a+1)=(a+4)/(a+1)
从而有：a/(a-1)=(a+4)/(a+1)，解得a=2
此时三边长分别为1、2、3，不符要求，舍去
(2)当角A是a-1所对的角，2A是a+1所对的角时
同样的有(a+1)/(a-1)=2cosA=(a+4)/(a+1)，解得a=5
则此时三角形三边长是4,5,6
(3)当角A是a所对的角，2A是a+1所对的角时
则(a+1)/a=2cosA=[(a+1)^2+(a-1)^2-a^2]/(a+1)(a-1)=(a^2+2)/(a^2-1)
整理得：a^2-3a-1=0，无自然数解，舍去
综上知，存在唯一的三角形，满足。。。该三角形即是边长分别为4，5，6的三角形。
收起
懒得写，没有！做2倍的那个角平分线，利用角平分线分对边比例然后相似三角形边之比。
分析连续三个整数各自的奇偶性很重要。
你能到这个程度，这么提示你肯定你能做出来，不要再让我详细做了，也不想要分。