不等于0的三个数A B C,已知1/A+1/B+1/C=1/A+B+C,求A B C中至少有两个数为相反数.

不等于0的三个数A B C,已知1/A+1/B+1/C=1/A+B+C,求A B C中至少有两个数为相反数.
不等于0的三个数A B C,已知1/A+1/B+1/C=1/A+B+C,求A B C中至少有两个数为相反数.

不等于0的三个数A B C,已知1/A+1/B+1/C=1/A+B+C,求A B C中至少有两个数为相反数.
1/A+1/B+1/C=1/A+B+C
1/a+1/b+(1/c-1/(a+b+c))=0
(a+b)/ab+((a+b+c)-c)/c(a+b+c)=0
(a+b)/ab+(a+b)/c(a+b+c)=0
(a+b)(1/ab+1/c(a+b+c))=0
(a+b)((c(a+b+c)+ab)/abc(a+b+c))=0
(a+b)(b+c)(a+c)/abc(a+b+c))=0
所以,(a+b)(b+c)(a+c)中起码有一个为0
即:A B C中至少有两个数为相反数.

方程：1/a+1/b+1/c=1/a+b+c 两边同时乘以abc （abc不等于0）
得到：bc+ac+ab=abc/（a+b+c） 两边同时a+b+c
得到：a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+3abc=abc
a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+2abc=0
而a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2...

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方程：1/a+1/b+1/c=1/a+b+c 两边同时乘以abc （abc不等于0）
得到：bc+ac+ab=abc/（a+b+c） 两边同时a+b+c
得到：a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+3abc=abc
a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+2abc=0
而a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+2abc=(a+b)(b+c)(a+c)=0
所以：a+b,b+c,c+a中，至少有一个是0
所以任意一组数为相反数

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“sxzh135122”回答的方法不是很简洁，运算过于烦琐。我来提供一个运算肯定比上面简洁的方法。
将条件等式右边移到左边去，然后两两分组化简整理。
（A＋B）/AB＋（A＋B）/C(A+B+C)＝0
至此，我相信聪明的提问者肯定能看懂了，因此下面的过程就省略了，而不必再如前面两位过于详细了（似乎有看不起人之嫌，呵呵）。...

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“sxzh135122”回答的方法不是很简洁，运算过于烦琐。我来提供一个运算肯定比上面简洁的方法。
将条件等式右边移到左边去，然后两两分组化简整理。
（A＋B）/AB＋（A＋B）/C(A+B+C)＝0
至此，我相信聪明的提问者肯定能看懂了，因此下面的过程就省略了，而不必再如前面两位过于详细了（似乎有看不起人之嫌，呵呵）。

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不等于0的三个数A B C,已知1/A+1/B+1/C=1/A+B+C,求A B C中至少有两个数为相反数.
题目里面等式是不是应该是 1/A+1/B+1/C=1/(A+B+C) ？？
我就这样解这个了， 个人感觉我的做法最严密，敬请参考
证明：
1/A + 1/B + 1/C = 1/(A+B+C)
左边通分
(BC+CA+AB)/(ABC) = ...

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不等于0的三个数A B C,已知1/A+1/B+1/C=1/A+B+C,求A B C中至少有两个数为相反数.
题目里面等式是不是应该是 1/A+1/B+1/C=1/(A+B+C) ？？
我就这样解这个了， 个人感觉我的做法最严密，敬请参考
证明：
1/A + 1/B + 1/C = 1/(A+B+C)
左边通分
(BC+CA+AB)/(ABC) = 1/(A+B+C)
(BC+CA+AB)(A+B+C) = ABC
ABC + CB^2 + BC^2 + CA^2 + ABC + AC^2 + BA^2 + AB^2 + ABC = ABC
2ABC + (C+B)A^2 + (A+C)B^2 + (A+B)C^2 = 0 ---------- （1）
因为 A B C 都 不等于 0 ，
假设 都小于0，
那么 式（1） 左边 < 0 , (1)不成立
假设 都>0，
那么 式（1） 左边 > 0 , (1)不成立
那么假设A, B 同号，和 C 不同号
假设 A = -C + T,
(1)式化为
2(T-C)BC + (C+B)(T-C)^2 + TB^2 + (B-C+T)C^2
= 2TBC - 2BC^2 + (C+B)(T^2 + C^2 - 2TC) + TB^2 + BC^2 - C^3 + TC^2
= 2TBC - 2BC^2 + CT^2 + C^3 - 2TC^2 + BT^2 + BC^2 - 2TBC + TB^2 + BC^2 - C^3 + TC^2
= CT^2 - TC^2 + BT^2 + TB^2
= (B+C)T^2 + T(B^2-C^2)
= T(B+C)(T+B-C) = 0
所以有
T = 0 , 则A = -C + T = -C ， 那么 A,C是相反数
或者 B+C= 0 ， B = -C ， 那么 B,C是相反数
或者 T+B-C = 0 , B = C-T ， 因为 A = -C+T, 所以 A,B是相反数
至此命题得证

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