作业帮1/（n-1）n（n+1） 怎么裂项?主要用来求数列的
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 17:39:57
1/（n-1）n（n+1） 怎么裂项?主要用来求数列的
1/（n-1）n（n+1） 怎么裂项?主要用来求数列的
1/（n-1）n（n+1） 怎么裂项?主要用来求数列的
an = 1/[(n-1)n(n+1)] ; n ≥2
=(1/2){ 1/[(n-1)n] -1/[n(n+1)] }
a2+a3+...+an = (1/2) { 1/(1.2) - 1/[n(n+1)] }
(n-1)an+1=(n+1)(an-1)可化为an+1/(n+1)=an/(n-1)-1/(n-1)，（前面的an+1中n+1为底数）
两边同时除以n，可得：an+1/n(n+1)=an/n(n-1)-1/n(n-1)，设数列an/n(n-1)为bn，
则bn+1=bn-[1/n(n-1)](n>1)，将1/n(n-1)裂项为1/(n-1)-1/n
则bn+1=bn+[1...
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(n-1)an+1=(n+1)(an-1)可化为an+1/(n+1)=an/(n-1)-1/(n-1)，（前面的an+1中n+1为底数）
两边同时除以n，可得：an+1/n(n+1)=an/n(n-1)-1/n(n-1)，设数列an/n(n-1)为bn，
则bn+1=bn-[1/n(n-1)](n>1)，将1/n(n-1)裂项为1/(n-1)-1/n
则bn+1=bn+[1/n-1/(n-1)]………（1）
bn=bn-1+[1/(n-1)-1/(n-2)]…………（2）
……
b3=b2+[1/2-1/1]…………（n-1)
将以上（n-1)个式子相加，得bn+1=b2+(1/n)-1
又b2=a2/2，所以b2=3，因此bn+1=3+(1/n)-1，即bn+1=2+1/n，即bn=1+1/(n-1)(n>1)
所以an=n(n-1)bn=n(n-1)+n，（n>1）
将(n-1)an+1=(n+1)(an-1)中n代1，则可得a1=1
因为a1符合an的通项，所以可写在一起，即an=n(n-1)bn=n(n-1)+n
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