作业帮设数列｛an｝的前n项和为sn,若对于所有的正整数n,都有sn=n（a1+an）/2,证明｛an｝是等差数列设数列｛an｝的前n项和为sn,若对于所有的正整数n,都有sn=n（a1+an）/2,证明｛an｝是等差数列
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 00:51:37
设数列｛an｝的前n项和为sn,若对于所有的正整数n,都有sn=n（a1+an）/2,证明｛an｝是等差数列设数列｛an｝的前n项和为sn,若对于所有的正整数n,都有sn=n（a1+an）/2,证明｛an｝是等差数列
设数列｛an｝的前n项和为sn,若对于所有的正整数n,都有sn=n（a1+an）/2,证明｛an｝是等差数列
设数列｛an｝的前n项和为sn,若对于所有的正整数n,
都有sn=n（a1+an）/2,证明｛an｝是等差数列
设数列｛an｝的前n项和为sn,若对于所有的正整数n,都有sn=n（a1+an）/2,证明｛an｝是等差数列设数列｛an｝的前n项和为sn,若对于所有的正整数n,都有sn=n（a1+an）/2,证明｛an｝是等差数列
①an+1=Sn+1-Sn
②an=Sn-Sn_1(n≥2)
①-②得
an+1-an=Sn+1+Sn_1-2Sn
=(n+1)(a1+an+1)/2+(n-1)(an+an_1)/2-n(a1+an)
=1/2[(n+1)an+1+(n-1)an_1-2nan]
可得2(an+1-an)=(n+1)an+1+(n-1)an_1-2nan(n≥2)
整理可得2(n-1)an=(n-1)an+1+(n-1)an_1(n≥2)
即2an=an+1+an_1(n≥2)
根据等差数列的特性可知:此数列为等差数列
对于n>=2，有2an=2sn-2s(n-1)=n（a1+an)-(n-1)（a1+a(n-1))=a1+nan-(n-1)a(n-1).即(n-2)(an-a1)=(n-1)(a(n-1)-a1)
所以若设(an-a1)/(n-1)=bn，则上式表明bn=b(n-1)
所以bn是常数列，bn=b2=a2-a1。
所以an-a1=(n-1)(a2-a1)。
an=a1+(n-1)(a2-a1)为等差数列