已知数列{a(n)}满足a1=2,a(n-1)=2a(n)+3.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{n*a(n)}的前n项和Sn希望大家可以写全.

已知数列{a(n)}满足a1=2,a(n-1)=2a(n)+3.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{n*a(n)}的前n项和Sn希望大家可以写全.
已知数列{a(n)}满足a1=2,a(n-1)=2a(n)+3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{n*a(n)}的前n项和Sn
希望大家可以写全.

已知数列{a(n)}满足a1=2,a(n-1)=2a(n)+3.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{n*a(n)}的前n项和Sn希望大家可以写全.
1)a(n-1)=2a(n)+3
a(n-1)+1=2[a(n)+2]
所以数列a(n)+1是个首项为3,公比为2的等比数列
则a(n)+1=3*2^(n-1)
即a(n)=3*2^(n-1)-1
2)n*a(n)=3n*2^(n-1)-n
这个求和,用错位相减法.写起来太繁了…
自己试试吧,

a(n-1)=2a(n)+3
a(n-1)+3=2*（a(n)+3）
a(n)+3=（1/2）*（a(n-1)+3）
那么有：
a(n-1)+3=（1/2）*（a(n-2)+3）
……
a2+3=（1/2）*（a1+3）
从下往上以此带入得到：
a(n)+3=(1/2)^(n-1)*(a1+3)=(1/2)^(n-1)*(a1+3)=...

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a(n-1)=2a(n)+3
a(n-1)+3=2*（a(n)+3）
a(n)+3=（1/2）*（a(n-1)+3）
那么有：
a(n-1)+3=（1/2）*（a(n-2)+3）
……
a2+3=（1/2）*（a1+3）
从下往上以此带入得到：
a(n)+3=(1/2)^(n-1)*(a1+3)=(1/2)^(n-1)*(a1+3)=5*(1/2)^(n-1)
a(n)=5*(1/2)^(n-1)-3
经验证，n=1时，也满足上面的通项。
设b(n)=n*a(n)=5*n*(1/2)^(n-1)-3*n
将其分为两部:5*n*(1/2)^(n-1)与3*n
后一部的Hn=(3/2)*n(n+1)
前一部的前n项和记为Tn,
则Tn=5+5*2*(1/2)+5*3*(1/2)^2+……+5*(n-1)*(1/2)^(n-2)+5*n*(1/2)^(n-1)
则(1/2)*Tn=5*(1/2)+5*2*(1/2)^2+…+5*(n-1)*(1/2)^(n-1)+5*n*(1/2)^(n)
上式减下式得
(1/2)*Tn=5+5*(1/2)+5*(1/2)^2+.....+5*(1/2)^(n-1)-5*n*(1/2)^n
即Tn=20*[1-(1/2)^(n-1)]-10*n*(1/2)^n
于是Sn=Tn-Hn=20*[1-(1/2)^(n-1)]-10*n*(1/2)^n-(3/2)*n(n+1)

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由a(n-1)=2a(n)+3
==>a(n)+3=2(a(n+1)+3)即 设b(n)=a(n)+3 ;b(1)=a(1)+3=5 则上式可写为
b(n+1)=1/2 b(n)为等比数列
b(n)=b1*2^(1-n)=5*2^(1-n)=a(n)+3
==>a(n)=5*2^(1-n)-3n
S(n)=∑n*a(n)=∑(5n*2(1-n)-3n)

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由a(n-1)=2a(n)+3
==>a(n)+3=2(a(n+1)+3)即 设b(n)=a(n)+3 ;b(1)=a(1)+3=5 则上式可写为
b(n+1)=1/2 b(n)为等比数列
b(n)=b1*2^(1-n)=5*2^(1-n)=a(n)+3
==>a(n)=5*2^(1-n)-3n
S(n)=∑n*a(n)=∑(5n*2(1-n)-3n)
∑(5n*2^(1-n)-3n)=∑5n*2^(1-n)-3∑n
3∑n=3/2*(n+1)*n
设f(n)=∑n*2^(1-n)=1+2/2+3/4+3/8+....+n*2^(1-n) ---[1]
1/2*f(n)=1/2+2/4+3/8+...+n*2^(-n) ---[2]
[1]-[2]
1/2*f(n)=1+1/2+1/4+1/8+....+2^(1-n)-n*2^(-n)=2*(1-2^(-n))-n*2^(-n)
f(n)=2*(2*(1-2^(-n))-n*2^(-n))
S(n)=5*f(n)+3(1/2*(n+1)*n)

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1、两种方法
一、叠代法算(即反复带入）
由已知可得
a(n)=1/2[a(n-1)-3]
=1/2{1/2[a(n-2)-3]-3]
=(1/2)^(n-1)a1-(1/2)*3-(1/2)^2*3……-(1/2)^(n-1)
=(1/2)^(n-1)a1-3+3(1/2)^(n-1)
=[(1/2)^(n-...

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1、两种方法
一、叠代法算(即反复带入）
由已知可得
a(n)=1/2[a(n-1)-3]
=1/2{1/2[a(n-2)-3]-3]
=(1/2)^(n-1)a1-(1/2)*3-(1/2)^2*3……-(1/2)^(n-1)
=(1/2)^(n-1)a1-3+3(1/2)^(n-1)
=[(1/2)^(n-1)]*(a1+3）-3
=5*(1/2)^(n-1)-3
二、化简法（简单但是不容易想）
由题可知
a(n)+3=2(a(n+1)+3)
设b(n)=a(n)+3
b(1)=a(1)+3=5
b(n+1)=1/2 b(n)为等比数列
b(n)=b1*2^(1-n)
=5*2^(1-n)
=a(n)+3
所以：a(n)=5*2^(1-n)-3n
2、n*a(n)=5n*(1/2)^(n-1)-3n
设：B(n)=3n
T(n)=5n*(1/2)^(n-1)
则n*a(n)=B(n)+T(n)
设S[n*a(n)]为数列n*a(n)的前n项和
S[n*a(n)]=S[T(n)]-S[B(n)]
而
S[B(n)]=(3/2)*n(n+1)
S[T(n)]=5+5*2*(1/2)+5*3*(1/2)^2+……+5*(n-1)*(1/2)^(n-2)+5*n*(1/2)^(n-1)
则(1/2)*S[T(n)]
=5*(1/2)+5*2*(1/2)^2+…+5*(n-1)*(1/2)^(n-1)+5*n*(1/2)^(n)
上式减下式得
(1/2)*S[T(n)]
=5+5*(1/2)+5*(1/2)^2+.....+5*(1/2)^(n-1)-5*n*(1/2)^n
可得
S[T(n)]=20*[1-(1/2)^(n-1)]-10*n*(1/2)^n
带入原式可得
S[n*a(n)]
=20*[1-(1/2)^(n-1)]-10*n*(1/2)^n-(3/2)*n(n+1)

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