高一数学等差数列已知数列｛an｝和｛bn｝满足 bn=(a1+2*a2+3*a3+...+na4)/(1+2+3+...+n),求证：｛an｝为等差数列时｛bn｝必为等差数列；反之亦然.帮帮忙,做对的可以加分

高一数学等差数列已知数列｛an｝和｛bn｝满足 bn=(a1+2*a2+3*a3+...+na4)/(1+2+3+...+n),求证：｛an｝为等差数列时｛bn｝必为等差数列；反之亦然.帮帮忙,做对的可以加分
高一数学等差数列
已知数列｛an｝和｛bn｝满足
bn=(a1+2*a2+3*a3+...+na4)/(1+2+3+...+n),
求证：｛an｝为等差数列时｛bn｝必为等差数列；反之亦然.
帮帮忙,做对的可以加分

高一数学等差数列已知数列｛an｝和｛bn｝满足 bn=(a1+2*a2+3*a3+...+na4)/(1+2+3+...+n),求证：｛an｝为等差数列时｛bn｝必为等差数列；反之亦然.帮帮忙,做对的可以加分
题目有错误吧
bn=(a1+2*a2+3*a3+...+na4)/(1+2+3+...+n),
应该更正为
bn=(a1+2*a2+3*a3+...+nan)/(1+2+3+...+n),吧
证明：由题可知设an=a1+（n-1）d,
所以Sn=（a1+an）*n/2
=n*a1+（n-1）*n*d/2（等差数列求和公式2）
则bn=(a1+2*a2+3*a3+...+nan)/（1+2+3+...+n）
=[（a1+an）*n/2）]/[(1+n)*n/2]
=（a1+an）/(1+n）
所以b（n-1）=（a1+a（n-1））/n
则bn-b（n-1）=[（a1+an）/(1+n）] - [（a1+a（n-1））/n]
将式子通分后,将第n项及第n-1项用a1和d表示即可,计算自己写,我电脑的公式编辑器坏了,用不了
化简得bn-b（n-1）=[（=2d-2a1(为一常数）,所以bn是等差数列
数学归纳法我想,高一没学,

证明：：1）
｛an｝为等差数列时｛bn｝必为等差数列
设 an=a+(n-1)d （其中a为首项，d为公差）
所以 n*an=a*n+d*n^2-nd
所以 a1+2×a2+3×a3+...+n×an
=a(1+2+3+...+n)+(1+4+9+...+n*n)d-（1+2+3+…+n）d
=[a*(n+...

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证明：：1）
｛an｝为等差数列时｛bn｝必为等差数列
设 an=a+(n-1)d （其中a为首项，d为公差）
所以 n*an=a*n+d*n^2-nd
所以 a1+2×a2+3×a3+...+n×an
=a(1+2+3+...+n)+(1+4+9+...+n*n)d-（1+2+3+…+n）d
=[a*(n+1)*n]/2+[n(n+1)(2n+1)]/6-[d*n*(n+1)]/2
所以 bn=(a1+2*a2+3*a3+...+na4)/(1+2+3+...+n)
=a-d+d*(2n+1)/3
所以 b(n+1)-bn=d(常数)
即 ｛bn｝必为等差数列
2）证明：｛bn｝为等差数列时，｛an｝为等差数列；
设 bn=b+(n-1)d (其中 b为首项，d为公差)
Tn=a1+2*a2+3*a3+...+nan
则 Tn=[bn*n*(n+1)]/2
所以 T(n+1)-Tn=[b(n+1)*(n+2)*(n+1)]/2-bn*n*(n+1)]/2
={(n+1)*[b(n+1)*(n+2)-bn*n]}/2
={(n+1)*[(bn+d)*(n+2)-bn*n]}/2
=={(n+1)*[2bn+d*(n+2)]}/2
又因为 T(n+1)-Tn=（n+1）*a(n+1)
所以 a(n+1)=[2bn+d*(n+2)]/2
即 a(n+1)=（2b+3*n*d）/2
即 an=b+[3(n-1)d]/2
因为 a（n+1）-an=（3d）/2 (常数)
所以 ：｛bn｝为等差数列时，｛an｝为等差数列
综上 ：｛an｝为等差数列时｛bn｝必为等差数列；反之亦然。

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证明：
设an=a+(n-1)d
于是a1+2×a2+3×a3+...+n×an=a(1+2+3+...+n)+(1×2+2×3+...+(n-1)n)d
用数学归纳法可以证明
1×2+2×3+...+(n-1)n=n(n²-1)/3
从而
a1+2×a2+3×a3+...+n×an=a(1+2+3+...+n)+n(n²-1)d...

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证明：
设an=a+(n-1)d
于是a1+2×a2+3×a3+...+n×an=a(1+2+3+...+n)+(1×2+2×3+...+(n-1)n)d
用数学归纳法可以证明
1×2+2×3+...+(n-1)n=n(n²-1)/3
从而
a1+2×a2+3×a3+...+n×an=a(1+2+3+...+n)+n(n²-1)d/3
从而
bn=a+n(n²-1)d/3（1+2+3+...+n)=a+2（n-1)d/3
这便说明了bn是首项为a,公差为2d/3的等差数列。
由上面的推理过程可知，若先设bn=b+(n-1)c是个等差数列，必可推得
an=b+3c(n-1)/2 （过程略去）
即an是首项是b,公差是3c/2的等差数列。
完。

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证明：
设an=a+(n-1)d
于是a1+2×a2+3×a3+...+n×an=a(1+2+3+...+n)+(1×2+2×3+...+(n-1)n)d
用数学归纳法可以证明
1×2+2×3+...+(n-1)n=n(n²-1)/3
从而
a1+2×a2+3×a3+...+n×an=a(1+2+3+...+n)+n(n²-1)d...

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证明：
设an=a+(n-1)d
于是a1+2×a2+3×a3+...+n×an=a(1+2+3+...+n)+(1×2+2×3+...+(n-1)n)d
用数学归纳法可以证明
1×2+2×3+...+(n-1)n=n(n²-1)/3
从而
a1+2×a2+3×a3+...+n×an=a(1+2+3+...+n)+n(n²-1)d/3
从而
bn=a+n(n²-1)d/3（1+2+3+...+n)=a+2（n-1)d/3
这便说明了bn是首项为a,公差为2d/3的等差数列。
由上面的推理过程可知，若先设bn=b+(n-1)c是个等差数列，必可推得
an=b+3c(n-1)/2 （过程略去）
即an是首项是b,公差是3c/2的等差数列。
完。

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