作业帮1/sinx的不定积分如何求?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 12:43:35
1/sinx的不定积分如何求?
1/sinx的不定积分如何求?
1/sinx的不定积分如何求?
∫ 1/sinx dx = ∫ cscx dx
= ∫ cscx * (cscx - cotx)/(cscx - cotx) dx
= ∫ (- cscxcotx + csc²x)/(cscx - cotx) dx
= ∫ d(cscx - cotx)/(cscx - cotx)
= ln|cscx - cotx| + C
∫ 1/sinx dx
= ∫ 1/[2sin(x/2)cos(x/2)] dx
= ∫ 1/[cos²(x/2)tan(x/2)] d(x/2)
= ∫ 1/[tan(x/2)] d[tan(x/2)]
= ln|tan(x/2)| + C
∫ 1/sinx dx = ∫ sinx/sin²x dx
= ∫ 1/(cos²x - 1) d(cosx)
= (1/2)∫ [(cosx + 1) - (cosx - 1)]/[(cosx + 1)(cosx - 1)] d(cosx)
= (1/2)∫ [1/(cosx - 1) - 1/(cosx + 1)] d(cosx)
= (1/2)ln|(cosx - 1)/(cosx + 1)| + C
= (1/2)ln|[2sin²(x/2)]/[2cos²(x/2)]| + C
= (1/2) * 2ln|tan(x/2)| + C
= ln|tan(x/2)| + C
万能代换：令y = tan(x/2)、dx = 2dy/(1 + y²)、sinx = 2y/(1 + y²)
∫ 1/sinx dx = ∫ 1/[2y/(1 + y²)] * 2dy/(1 + y²)
= ∫ (1 + y²)/(2y) * 2dy/(1 + y²)
= ∫ 1/y dy
= ln|y| + C
= ln|tan(x/2)| + C
这几个答案都可以互相转换的.
其中ln|tan(x/2)| = ln|sin(x/2)/cos(x/2)| = ln|[2sin(x/2)cos(x/2)]/[2cos²(x/2)]|
= ln|sinx/(1 + cosx)| = ln|[sinx(1 - cosx)]/[(1 + cosx)(1 - cosx)]|
= ln|(sinx - sinxcosx)/sin²x| = ln|1/sinx - cosx/sinx| = ln|cscx - cotx|
∫1/sinxdx=ln|tanx/2|+C=ln|cscx-cotx|+C
∫1/sinxdx=ln|tanx/2|+C=ln|cscx-cotx|+C
∫1/sinxdx=∫sinxdx/sin²x=ʃdcosx/(cos²x-1)=ʃdt/(t²-1)=1/2ln|(t-1)/(t+1)|+C=1/2 ln|(cosx-1)/cosx+1)|+C
=ln|(sinx/2)/(cosx/2)|+C=ln|tanx/2|+C