a,b,c>0且a+b+c=1求证√(3a+2)+√(3b+2)+√(3c+2)≤3√3

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/05 08:32:59
a,b,c>0且a+b+c=1求证√(3a+2)+√(3b+2)+√(3c+2)≤3√3

a,b,c>0且a+b+c=1求证√(3a+2)+√(3b+2)+√(3c+2)≤3√3
a,b,c>0且a+b+c=1求证√(3a+2)+√(3b+2)+√(3c+2)≤3√3

a,b,c>0且a+b+c=1求证√(3a+2)+√(3b+2)+√(3c+2)≤3√3
【证】
因为
[√(3a+2)+√(3b+2)+√(3c+2)]^2
=3a+2 +3b+2 +3c+2+2[√(3a+2) √(3b+2 )+√(3a+2 )√(3c+2)+√(3b+2) √(3c+2) ]
=9+2[√(3a+2) √(3b+2 )+√(3a+2)√(3c+2)+√(3b+2 )√(3c+2) ]
≤ 9+2(3a+2 +3b+2 +3c+2)=27
两边开平方:
√(3a+2)+√(3b+2)+√(3c+2))≤ 3√3

【证】根据柯西不等式:
[√(3a+2)+√(3b+2)+√(3c+2)]^2≤ [(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)](1+1+1)
=3[3(a+b+c)+6]=3×9=27
又因为√(3a+2)+√(3b+2)+√(3c+2)>0所以两边开方
√(3a+2)+√(3b+2)+√(3c+2)≤3√3
得证。